Theorem ressply1mul 19649

Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1mul	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2651	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝐻) = (1𝑜 mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
6		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	4, 5, 6	ply1bas 19613	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
8		1on 7612	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
10		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		eqid 2651	. . 3 ⊢ ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
12	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11	ressmplmul 19506	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
14	4, 3, 13	ply1mulr 19645	. . 3 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
15	14	oveqi 6703	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌)
16		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
18	16, 1, 17	ply1mulr 19645	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
19		fvex 6239	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) ∈ V
20	6, 19	eqeltri 2726	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
21		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
22	21, 17	ressmulr 16053	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃))
23	20, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃)
24		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
25	11, 24	ressmulr 16053	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
26	20, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2681	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
28	27	oveqi 6703	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘𝑃)𝑌) = (𝑋(.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
29	12, 15, 28	3eqtr4g 2710	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  Oncon0 5761  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598  Basecbs 15904   ↾_s cress 15905  ._rcmulr 15989  SubRingcsubrg 18824   mPoly cmpl 19401  PwSer₁cps1 19593  Poly₁cpl1 19595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600

This theorem is referenced by: (None)