MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressplusg 16215
Description: +g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressplusg.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressplusg.2 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressplusg (𝐴𝑉+ = (+g𝐻))

Proof of Theorem ressplusg
StepHypRef Expression
1 ressplusg.1 . 2 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
2 ressplusg.2 . 2 + = (+g𝐺)
3 df-plusg 16176 . 2 +g = Slot 2
4 2nn 11397 . 2 2 ∈ ℕ
5 1lt2 11406 . 2 1 < 2
61, 2, 3, 4, 5resslem 16155 1 (𝐴𝑉+ = (+g𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  2c2 11282  s cress 16080  +gcplusg 16163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176
This theorem is referenced by:  issstrmgm  17473  gsumress  17497  issubmnd  17539  ress0g  17540  submnd0  17541  resmhm  17580  resmhm2  17581  resmhm2b  17582  submmulg  17807  subg0  17821  subginv  17822  subgcl  17825  subgsub  17827  subgmulg  17829  issubg2  17830  nmznsg  17859  resghm  17897  subgga  17953  gasubg  17955  resscntz  17984  sylow2blem2  18256  sylow3lem6  18267  subglsm  18306  pj1ghm  18336  subgabl  18461  subcmn  18462  submcmn2  18464  ringidss  18797  opprsubg  18856  unitgrp  18887  unitlinv  18897  unitrinv  18898  invrpropd  18918  isdrng2  18979  drngmcl  18982  drngid2  18985  isdrngd  18994  subrgugrp  19021  issubrg2  19022  subrgpropd  19036  abvres  19061  islss3  19181  sralmod  19409  resspsradd  19638  mpladd  19664  ressmpladd  19679  mplplusg  19812  ply1plusg  19817  ressply1add  19822  xrs1mnd  20006  xrs10  20007  xrs1cmn  20008  xrge0subm  20009  cnmsubglem  20031  expmhm  20037  nn0srg  20038  rge0srg  20039  zringplusg  20047  expghm  20066  psgnghm  20148  psgnco  20151  evpmodpmf1o  20164  replusg  20178  frlmplusgval  20329  mdetralt  20636  invrvald  20704  submtmd  22129  imasdsf1olem  22399  xrge0gsumle  22857  clmadd  23094  isclmp  23117  ipcau2  23253  reefgim  24423  efabl  24516  efsubm  24517  dchrptlem2  25210  dchrsum2  25213  qabvle  25534  padicabv  25539  ostth2lem2  25543  ostth3  25547  ressplusf  29980  ressmulgnn  30013  xrge0plusg  30017  submomnd  30040  ringinvval  30122  dvrcan5  30123  rhmunitinv  30152  xrge0slmod  30174  qqhghm  30362  qqhrhm  30363  esumpfinvallem  30466  lcdvadd  37406  cntzsdrg  38292  deg1mhm  38305  sge0tsms  41118  cnfldsrngadd  42298  issubmgm2  42318  resmgmhm  42326  resmgmhm2  42327  resmgmhm2b  42328  lidlrng  42455  amgmlemALT  43080
  Copyright terms: Public domain W3C validator