Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressplusf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressplusf 29778
Description: The group operation function +𝑓 of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressplusf.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressplusf.2 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressplusf.3 = (+g𝐺)
ressplusf.4 Fn (𝐵 × 𝐵)
ressplusf.5 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
ressplusf (+𝑓𝐻) = ( ↾ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem ressplusf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressplusf.5 . . 3 𝐴𝐵
2 resmpt2 6800 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴 ↦ (𝑥 𝑦)))
31, 1, 2mp2an 708 . 2 ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴 ↦ (𝑥 𝑦))
4 ressplusf.4 . . . 4 Fn (𝐵 × 𝐵)
5 fnov 6810 . . . 4 ( Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦)))
64, 5mpbi 220 . . 3 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦))
76reseq1i 5424 . 2 ( ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
8 ressplusf.2 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
9 ressplusf.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
108, 9ressbas2 15978 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝐻))
111, 10ax-mp 5 . . 3 𝐴 = (Base‘𝐻)
12 ressplusf.3 . . . 4 = (+g𝐺)
13 fvex 6239 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
149, 13eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
1514, 1ssexi 4836 . . . . 5 𝐴 ∈ V
16 eqid 2651 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
178, 16ressplusg 16040 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1815, 17ax-mp 5 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐻)
1912, 18eqtri 2673 . . 3 = (+g𝐻)
20 eqid 2651 . . 3 (+𝑓𝐻) = (+𝑓𝐻)
2111, 19, 20plusffval 17294 . 2 (+𝑓𝐻) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴 ↦ (𝑥 𝑦))
223, 7, 213eqtr4ri 2684 1 (+𝑓𝐻) = ( ↾ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607   × cxp 5141  cres 5145   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  +𝑓cplusf 17286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-plusf 17288
This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  30114  xrge0tmdOLD  30119
  Copyright terms: Public domain W3C validator