Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressnm 29985
Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressnm.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressnm.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressnm.3 0 = (0g𝐺)
ressnm.4 𝑁 = (norm‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressnm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑁𝐴) = (norm‘𝐻))

Proof of Theorem ressnm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressnm.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
2 ressnm.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2ressbas2 16137 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝐻))
433ad2ant3 1128 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5 fvex 6342 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
62, 5eqeltri 2845 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
76ssex 4933 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
8 eqid 2770 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
91, 8ressds 16280 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
11103ad2ant3 1128 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
12 eqidd 2771 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝑥 = 𝑥)
13 ressnm.3 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
141, 2, 13ress0g 17526 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 0 = (0g𝐻))
1511, 12, 14oveq123d 6813 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑥(dist‘𝐺) 0 ) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻)))
164, 15mpteq12dv 4865 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻))))
17 ressnm.4 . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
1817, 2, 13, 8nmfval 22612 . . . . 5 𝑁 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 ))
1918reseq1i 5530 . . . 4 (𝑁𝐴) = ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴)
20 resmpt 5590 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
2119, 20syl5eq 2816 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝑁𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
22213ad2ant3 1128 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑁𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
23 eqid 2770 . . . 4 (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
24 eqid 2770 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25 eqid 2770 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
26 eqid 2770 . . . 4 (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
2723, 24, 25, 26nmfval 22612 . . 3 (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻)))
2827a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻))))
2916, 22, 283eqtr4d 2814 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑁𝐴) = (norm‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  wss 3721  cmpt 4861  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  s cress 16064  distcds 16157  0gc0g 16307  Mndcmnd 17501  normcnm 22600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-ds 16171  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-nm 22606
This theorem is referenced by:  zringnm  30338  rezh  30349
  Copyright terms: Public domain W3C validator