MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressms 22550
Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ressms ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)

Proof of Theorem ressms
StepHypRef Expression
1 msxms 22478 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
2 ressxms 22549 . . 3 ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
31, 2sylan 561 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
4 eqid 2770 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2770 . . . . . 6 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
64, 5msmet 22481 . . . . 5 (𝐾 ∈ MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
76adantr 466 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
8 metres 22389 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10 resres 5550 . . . . 5 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11 inxp 5393 . . . . . 6 (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
1211reseq2i 5531 . . . . 5 ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
1310, 12eqtri 2792 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
14 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
15 eqid 2770 . . . . . . 7 (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
1614, 15ressds 16280 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
1716adantl 467 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
18 incom 3954 . . . . . . 7 ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
1914, 4ressbas 16136 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2019adantl 467 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2118, 20syl5eq 2816 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2221sqxpeqd 5281 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
2317, 22reseq12d 5535 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2413, 23syl5eq 2816 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2521fveq2d 6336 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
269, 24, 253eltr3d 2863 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
27 eqid 2770 . . . 4 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
2814, 27resstopn 21210 . . 3 ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾s 𝐴))
29 eqid 2770 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
30 eqid 2770 . . 3 ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
3128, 29, 30isms 22473 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ MetSp ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴)))))
323, 26, 31sylanbrc 564 1 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  cin 3720   × cxp 5247  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  s cress 16064  distcds 16157  t crest 16288  TopOpenctopn 16289  Metcme 19946  ∞MetSpcxme 22341  MetSpcmt 22342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-tset 16167  df-ds 16171  df-rest 16290  df-topn 16291  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-xms 22344  df-ms 22345
This theorem is referenced by:  subgngp  22658  cmsss  23365  cnpwstotbnd  33921
  Copyright terms: Public domain W3C validator