Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressiooinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressiooinf 40102
Description: If the infimum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded above, left-open interval, with lower bound equal to the infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ressiooinf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ressiooinf.s 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
ressiooinf.n (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
ressiooinf.i 𝐼 = (𝑆(,)+∞)
Assertion
Ref Expression
ressiooinf (𝜑𝐴𝐼)

Proof of Theorem ressiooinf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressiooinf.s . . . . . 6 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
2 ressiooinf.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 ressxr 10121 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
52, 4sstrd 3646 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
76infxrcld 39925 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
81, 7syl5eqel 2734 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9 pnfxr 10130 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
109a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
112adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1311, 12sseldd 3637 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
145sselda 3636 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
15 infxrlb 12202 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
166, 12, 15syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
171, 16syl5eqbr 4720 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑥)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑆𝑥 = 𝑆)
1918eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆𝑆 = 𝑥)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
21 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑥𝐴)
2220, 21eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
2322adantll 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
24 ressiooinf.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
2524ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆𝐴)
2623, 25pm2.65da 599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
2726neqned 2830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
2827necomd 2878 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑥)
298, 14, 17, 28xrleneltd 39852 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 < 𝑥)
3013ltpnfd 11993 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 < +∞)
318, 10, 13, 29, 30eliood 40038 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑆(,)+∞))
32 ressiooinf.i . . . 4 𝐼 = (𝑆(,)+∞)
3331, 32syl6eleqr 2741 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐼)
3433ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
35 dfss3 3625 . 2 (𝐴𝐼 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
3634, 35sylibr 224 1 (𝜑𝐴𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  (,)cioo 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-ioo 12217
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator