MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbasss 16154
Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbasss (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem ressbasss
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 ressbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2ressbas 16152 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
4 inss2 3977 . . 3 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
53, 4syl6eqssr 3797 . 2 (𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
6 reldmress 16148 . . . . . 6 Rel dom ↾s
76ovprc2 6849 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
81, 7syl5eq 2806 . . . 4 𝐴 ∈ V → 𝑅 = ∅)
98fveq2d 6357 . . 3 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
10 base0 16134 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
11 0ss 4115 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐵
1210, 11eqsstr3i 3777 . . 3 (Base‘∅) ⊆ 𝐵
139, 12syl6eqss 3796 . 2 𝐴 ∈ V → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵)
145, 13pm2.61i 176 1 (Base‘𝑅) ⊆ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  c0 4058  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  s cress 16080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-nn 11233  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087
This theorem is referenced by:  funcres2c  16782  resscatc  16976  submnd0  17541  resscntz  17984  subcmn  18462  resspsrvsca  19640  subrgpsr  19641  ply1bascl  19795  evpmss  20154  frlmplusgval  20329  frlmvscafval  20331  lsslindf  20391  islinds3  20395  ressprdsds  22397  cphsubrglem  23197
  Copyright terms: Public domain W3C validator