MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressbas 16124
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
ressbas.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ressbas (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbas
StepHypRef Expression
1 ressbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 simp1 1130 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝐵𝐴)
3 sseqin2 3952 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
42, 3sylib 208 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
5 ressbas.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
65, 1ressid2 16122 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
76fveq2d 6348 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑊))
81, 4, 73eqtr4a 2812 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
983expib 1116 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
10 simp2 1131 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
11 fvex 6354 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) ∈ V
121, 11eqeltri 2827 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1312inex2 4944 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
14 baseid 16113 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
1514setsid 16108 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1610, 13, 15sylancl 697 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
175, 1ressval2 16123 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩))
1817fveq2d 6348 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴𝐵)⟩)))
1916, 18eqtr4d 2789 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
20193expib 1116 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅)))
219, 20pm2.61i 176 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
22 0fv 6380 . . . . 5 (∅‘(Base‘ndx)) = ∅
23 0ex 4934 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2423, 14strfvn 16073 . . . . 5 (Base‘∅) = (∅‘(Base‘ndx))
25 in0 4103 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
2622, 24, 253eqtr4ri 2785 . . . 4 (𝐴 ∩ ∅) = (Base‘∅)
27 fvprc 6338 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
281, 27syl5eq 2798 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2928ineq2d 3949 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (𝐴 ∩ ∅))
30 reldmress 16120 . . . . . . 7 Rel dom ↾s
3130ovprc1 6839 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
325, 31syl5eq 2798 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3332fveq2d 6348 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘∅))
3426, 29, 333eqtr4a 2812 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3534adantr 472 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
3621, 35pm2.61ian 866 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) = (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332  cin 3706  wss 3707  c0 4050  cop 4319  cfv 6041  (class class class)co 6805  ndxcnx 16048   sSet csts 16049  Basecbs 16051  s cress 16052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-nn 11205  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059
This theorem is referenced by:  ressbas2  16125  ressbasss  16126  ressress  16132  rescabs  16686  resscatc  16948  resscntz  17956  idrespermg  18023  opprsubg  18828  subrgpropd  19008  sralmod  19381  resstopn  21184  resstps  21185  ressuss  22260  ressxms  22523  ressms  22524  cphsubrglem  23169  resspos  29960  resstos  29961  xrge0base  29986  xrge00  29987  submomnd  30011  suborng  30116  gsumge0cl  41083  sge0tsms  41092  lidlssbas  42424  lidlbas  42425  uzlidlring  42431  dmatALTbas  42692
  Copyright terms: Public domain W3C validator