Theorem ressatans 24706

Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

Assertion

Ref	Expression
ressatans	⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Distinct variable group:   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem ressatans

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10031	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		1re 10077	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		resqcl 12971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
4		readdcl 10057	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10106	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
7		0re 10078	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
9	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
10		0lt1 10588	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < 1)
12		sqge0 12980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑦↑2))
13		addge01 10576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑦↑2) ↔ 1 ≤ (1 + (𝑦↑2))))
14	2, 3, 13	sylancr 696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑦↑2) ↔ 1 ≤ (1 + (𝑦↑2))))
15	12, 14	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 1 ≤ (1 + (𝑦↑2)))
16	8, 9, 5, 11, 15	ltletrd 10235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 < (1 + (𝑦↑2)))
17		ltnle 10155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ) → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
18	7, 5, 17	sylancr 696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 < (1 + (𝑦↑2)) ↔ ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
19	16, 18	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
20		mnfxr 10134	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
21		elioc2 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)))
22	20, 7, 21	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) ↔ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ ℝ ∧ -∞ < (1 + (𝑦↑2)) ∧ (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0))
23	22	simp3bi 1098	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0) → (1 + (𝑦↑2)) ≤ 0)
24	19, 23	nsyl 135	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (1 + (𝑦↑2)) ∈ (-∞(,]0))
25	6, 24	eldifd 3618	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
26		atansopn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
27	25, 26	syl6eleqr 2741	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷)
28	27	rgen 2951	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷
29		ssrab 3713	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷} ↔ (ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷))
30	1, 28, 29	mpbir2an 975	. 2 ⊢ ℝ ⊆ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
31		atansopn.s	. 2 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
32	30, 31	sseqtr4i 3671	1 ⊢ ℝ ⊆ 𝑆

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {crab 2945   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  -∞cmnf 10110  ℝ^*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  2c2 11108  (,]cioc 12214  ↑cexp 12900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-ioc 12218  df-seq 12842  df-exp 12901

This theorem is referenced by:  leibpi  24714