MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressabs 15986
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ressabs ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → ((𝑊s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊s 𝐵))

Proof of Theorem ressabs
StepHypRef Expression
1 ssexg 4837 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ V)
21ancoms 468 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
3 ressress 15985 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵 ∈ V) → ((𝑊s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊s (𝐴𝐵)))
42, 3syldan 486 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → ((𝑊s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊s (𝐴𝐵)))
5 simpr 476 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 sseqin2 3850 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
75, 6sylib 208 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
87oveq2d 6706 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → (𝑊s (𝐴𝐵)) = (𝑊s 𝐵))
94, 8eqtrd 2685 1 ((𝐴𝑋𝐵𝐴) → ((𝑊s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑊s 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  (class class class)co 6690  s cress 15905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912
This theorem is referenced by:  rescabs  16540  rescabs2  16541  subsubm  17404  subsubg  17664  subgslw  18077  pgpfaclem1  18526  ablfaclem3  18532  subsubrg  18854  lsslss  19009  xrge0cmn  19836  zringunit  19884  cnmsgngrp  19973  psgninv  19976  zrhpsgnmhm  19978  xrge0gsumle  22683  xrge0tsms  22684  reefgim  24249  xrge0tsmsd  29913  nn0omnd  29969  nn0archi  29971  rrhcn  30169  qqtopn  30183  lnmlsslnm  37968  lmhmlnmsplit  37974  gsumge0cl  40906  sge0tsms  40915  subsubmgm  42122  amgmlemALT  42877
  Copyright terms: Public domain W3C validator