MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resrhm 19011
Description: Restriction of a ring homomorphism to a subring is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resrhm.u 𝑈 = (𝑆s 𝑋)
Assertion
Ref Expression
resrhm ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹𝑋) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem resrhm
StepHypRef Expression
1 rhmrcl2 18922 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Ring)
2 resrhm.u . . . 4 𝑈 = (𝑆s 𝑋)
32subrgring 18985 . . 3 (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
41, 3anim12ci 592 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑈 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring))
5 rhmghm 18927 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
6 subrgsubg 18988 . . . 4 (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑆))
72resghm 17877 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (𝐹𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇))
85, 6, 7syl2an 495 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇))
9 eqid 2760 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
10 eqid 2760 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
119, 10rhmmhm 18924 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
129subrgsubm 18995 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))
13 eqid 2760 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋)
1413resmhm 17560 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆))) → (𝐹𝑋) ∈ (((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
1511, 12, 14syl2an 495 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹𝑋) ∈ (((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
16 rhmrcl1 18921 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
172, 9mgpress 18700 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) = (mulGrp‘𝑈))
1816, 17sylan 489 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) = (mulGrp‘𝑈))
1918oveq1d 6828 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) MndHom (mulGrp‘𝑇)) = ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
2015, 19eleqtrd 2841 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹𝑋) ∈ ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
218, 20jca 555 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐹𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ (𝐹𝑋) ∈ ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇))))
22 eqid 2760 . . 3 (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
2322, 10isrhm 18923 . 2 ((𝐹𝑋) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇) ↔ ((𝑈 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring) ∧ ((𝐹𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ (𝐹𝑋) ∈ ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇)))))
244, 21, 23sylanbrc 701 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹𝑋) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6813  s cress 16060   MndHom cmhm 17534  SubMndcsubmnd 17535  SubGrpcsubg 17789   GrpHom cghm 17858  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747   RingHom crh 18914  SubRingcsubrg 18978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-rnghom 18917  df-subrg 18980
This theorem is referenced by:  evlsval2  19722
  Copyright terms: Public domain W3C validator