MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqcld 13229
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
resqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqcl 13125 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813  cr 10127  2c2 11262  cexp 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-exp 13055
This theorem is referenced by:  cjmulge0  14085  sqrlem1  14182  sqrlem6  14187  sqrlem7  14188  absrele  14247  abstri  14269  amgm2  14308  sinbnd  15109  cosbnd  15110  cos01bnd  15115  cos01gt0  15120  absefi  15125  pythagtriplem10  15727  pockthg  15812  prmreclem1  15822  4sqlem12  15862  4sqlem15  15865  4sqlem16  15866  prmlem1  16016  prmlem2  16029  cphnmf  23195  reipcl  23197  ipcau2  23233  csbren  23382  trirn  23383  rrxmval  23388  rrxmet  23391  rrxdstprj1  23392  minveclem2  23397  minveclem3b  23399  minveclem3  23400  minveclem4  23403  minveclem6  23405  minveclem7  23406  pjthlem1  23408  itgabs  23800  dveflem  23941  tangtx  24456  tanregt0  24484  cxpsqrt  24648  lawcoslem1  24744  birthdaylem3  24879  cxp2limlem  24901  basellem8  25013  bposlem6  25213  2sqblem  25355  rplogsumlem2  25373  logdivsum  25421  mulog2sumlem1  25422  mulog2sumlem2  25423  vmalogdivsum2  25426  log2sumbnd  25432  selberglem2  25434  logdivbnd  25444  pntpbnd1a  25473  pntlemb  25485  pntlemr  25490  pntlemk  25494  pntlemo  25495  eqeelen  25983  brbtwn2  25984  colinearalglem4  25988  axcgrid  25995  axsegconlem2  25997  axsegconlem3  25998  axsegconlem9  26004  ax5seglem1  26007  ax5seglem2  26008  ax5seglem3  26010  ax5seg  26017  ipval2lem2  27868  minvecolem2  28040  minvecolem3  28041  minvecolem4  28045  minvecolem5  28046  minvecolem6  28047  minvecolem7  28048  normpyc  28312  pjhthlem1  28559  chscllem2  28806  pjssposi  29340  hstle1  29394  hst1h  29395  hstle  29398  hstoh  29400  strlem3a  29420  2sqmod  29957  sqsscirc1  30263  hgt750lemf  31040  hgt750leme  31045  tgoldbachgtde  31047  sinccvglem  31873  itgabsnc  33792  dvasin  33809  areacirclem1  33813  areacirclem2  33814  areacirclem4  33816  areacirc  33818  cntotbnd  33908  rrnmet  33941  rrndstprj1  33942  rrndstprj2  33943  pellexlem2  37896  pellexlem6  37900  pell14qrgt0  37925  pell1qrgaplem  37939  rmspecnonsq  37974  rmspecpos  37983  jm3.1lem2  38087  sqrlearg  40283  dvdivbd  40641  stirlinglem10  40803  fourierdlem56  40882  fourierdlem57  40883  rrxdsfi  41008  rrxtopnfi  41009  rrndistlt  41013  hoiqssbllem2  41343  smfmullem1  41504
  Copyright terms: Public domain W3C validator