Theorem rerrext 30393

Description: The field of the real numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rerrext	⊢ ℝfld ∈ ℝExt

Proof of Theorem rerrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 22804	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		resubdrg 20171	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
3	2	simpli 470	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		df-refld 20168	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
5	4	subrgnrg 22697	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
6	1, 3, 5	mp2an 672	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ NrmRing
7	2	simpri 473	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
8	6, 7	pm3.2i 447	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing ∧ ℝfld ∈ DivRing)
9		rezh 30355	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod
10		reofld 30180	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oField
11		ofldchr 30154	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (chr‘ℝfld) = 0
13	9, 12	pm3.2i 447	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℝfld) = 0)
14		recusp 23389	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
15		reust 23388	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
16	14, 15	pm3.2i 447	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))))
17		rebase 20169	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
18		eqid 2771	. . 3 ⊢ ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
19		eqid 2771	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
20	17, 18, 19	isrrext 30384	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ ℝExt ↔ ((ℝfld ∈ NrmRing ∧ ℝfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℝfld) = 0) ∧ (ℝfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))))))
21	8, 13, 16, 20	mpbir3an 1426	1 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt

Syntax hints:   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   × cxp 5247   ↾ cres 5251  ‘cfv 6031  ℝcr 10137  0cc0 10138  distcds 16158  DivRingcdr 18957  SubRingcsubrg 18986  metUnifcmetu 19952  ℂ_fldccnfld 19961  ℤModczlm 20064  chrcchr 20065  ℝ_fldcrefld 20167  UnifStcuss 22277  CUnifSpccusp 22321  NrmRingcnrg 22604  NrmModcnlm 22605  oFieldcofld 30136   ℝExt crrext 30378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-toset 17242  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-od 18155  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-field 18960  df-subrg 18988  df-abv 19027  df-lmod 19075  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-metu 19960  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zlm 20068  df-chr 20069  df-refld 20168  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-flim 21963  df-fcls 21965  df-ust 22224  df-utop 22255  df-uss 22280  df-usp 22281  df-cfilu 22311  df-cusp 22322  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nrg 22610  df-nlm 22611  df-cncf 22901  df-cfil 23272  df-cmet 23274  df-cms 23351  df-omnd 30039  df-ogrp 30040  df-orng 30137  df-ofld 30138  df-rrext 30383

This theorem is referenced by:  rrhre  30405  sitgclre  30747  sitmcl  30753