MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerpdivcld 12088
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rerpdivcl 12046 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  (class class class)co 6805  cr 10119   / cdiv 10868  +crp 12017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-rp 12018
This theorem is referenced by:  iccf1o  12501  xov1plusxeqvd  12503  expmulnbnd  13182  discr  13187  geomulcvg  14798  mertenslem1  14807  retanhcl  15080  bitsfzolem  15350  bitsfzo  15351  bitsmod  15352  odmodnn0  18151  nmoi  22725  nmoleub  22728  icopnfcnv  22934  nmoleub2lem  23106  nmoleub2lem3  23107  pjthlem1  23400  ovolscalem1  23473  ovolscalem2  23474  ovolsca  23475  mbfmulc2lem  23605  itg2const2  23699  dvferm1lem  23938  abelthlem7  24383  logdivlti  24557  logdivle  24559  logcnlem3  24581  logcnlem4  24582  advlogexp  24592  cxpaddle  24684  cxploglim  24895  cxploglim2  24896  lgamgulmlem2  24947  lgamgulmlem3  24948  lgamucov  24955  ftalem1  24990  ftalem2  24991  basellem3  25000  fsumvma2  25130  chpval2  25134  chpchtsum  25135  chpub  25136  logfacrlim  25140  logexprlim  25141  efexple  25197  bposlem9  25208  chebbnd1lem2  25350  chebbnd1lem3  25351  chtppilim  25355  chpchtlim  25359  chpo1ubb  25361  rplogsumlem1  25364  rplogsumlem2  25365  rpvmasumlem  25367  dchrmusum2  25374  dchrvmasumlem2  25378  dchrisum0fno1  25391  dchrisum0lem1b  25395  dchrisum0lem1  25396  dchrisum0lem2a  25397  rplogsum  25407  mulog2sumlem1  25414  mulog2sumlem2  25415  vmalogdivsum2  25418  vmalogdivsum  25419  2vmadivsumlem  25420  log2sumbnd  25424  selberglem2  25426  selbergb  25429  selberg2b  25432  chpdifbndlem1  25433  selberg3lem1  25437  selberg3lem2  25438  selberg3  25439  selberg4lem1  25440  selberg4  25441  pntrsumo1  25445  selberg3r  25449  selberg4r  25450  selberg34r  25451  pntrlog2bndlem1  25457  pntrlog2bndlem2  25458  pntrlog2bndlem3  25459  pntrlog2bndlem4  25460  pntrlog2bndlem5  25461  pntrlog2bndlem6  25463  pntrlog2bnd  25464  pntpbnd1a  25465  pntpbnd2  25467  pntibndlem2  25471  pntibndlem3  25472  pntlemb  25477  pntlemg  25478  pntlemh  25479  pntlemn  25480  pntlemr  25482  pntlemj  25483  pntlemf  25485  pntlemk  25486  pntlemo  25487  pnt  25494  ostth2lem1  25498  ostth2lem4  25516  ostth3  25518  pjhthlem1  28551  esumcst  30426  dya2iocress  30637  dya2iocbrsiga  30638  dya2icobrsiga  30639  sxbrsigalem2  30649  probmeasb  30793  itg2addnclem3  33768  ftc1anclem7  33796  geomcau  33860  cntotbnd  33900  bfplem1  33926  binomcxplemnotnn0  39049  divlt0gt0d  39989  lefldiveq  39996  ltmod  40365  0ellimcdiv  40376  wallispilem5  40781  stirlingr  40802  dirkercncflem1  40815  fourierdlem65  40883  hoiqssbllem2  41335
  Copyright terms: Public domain W3C validator