MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerpdivcl 12064
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcl
StepHypRef Expression
1 rprene0 12052 . 2 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
2 redivcl 10950 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
323expb 1113 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 3sylan2 580 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142   / cdiv 10890  +crp 12035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-rp 12036
This theorem is referenced by:  ledivge1le  12104  rerpdivcld  12106  icccntr  12519  refldivcl  12832  fldivle  12840  ltdifltdiv  12843  modvalr  12879  flpmodeq  12881  mod0  12883  negmod0  12885  modlt  12887  moddiffl  12889  moddifz  12890  modid  12903  modcyc  12913  modadd1  12915  modmul1  12931  moddi  12946  modsubdir  12947  modirr  12949  sqrtdiv  14214  divrcnv  14791  gexdvds  18206  aaliou3lem8  24320  logdivlt  24588  cxp2limlem  24923  harmonicbnd4  24958  logexprlim  25171  bposlem7  25236  bposlem9  25238  chebbnd1lem3  25381  chebbnd1  25382  chto1ub  25386  chpo1ub  25390  vmadivsum  25392  rplogsumlem1  25394  dchrvmasumlema  25410  dchrvmasumiflem1  25411  dchrisum0fno1  25421  mulogsumlem  25441  logdivsum  25443  mulog2sumlem1  25444  selberg2lem  25460  selberg3lem1  25467  pntrmax  25474  pntpbnd1a  25495  pntpbnd1  25496  pntpbnd2  25497  pntpbnd  25498  pntibndlem3  25502  pntlem3  25519  pntleml  25521  pnt2  25523  subfacval3  31509  heiborlem6  33947  fldivmod  42838
  Copyright terms: Public domain W3C validator