MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rereccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rereccld 11053
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rereccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
rereccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rereccld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rereccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 rereccl 10944 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 565 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2144  wne 2942  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   / cdiv 10885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886
This theorem is referenced by:  recgt0  11068  prodgt0  11069  ltdiv1  11088  ltrec  11106  lerec  11107  lediv12a  11117  nnrecl  11491  rpnnen1lem5  12020  rpnnen1lem5OLD  12026  expnlbnd  13200  cnsubrg  20020  evth  22977  ncvs1  23175  reeff1o  24420  isosctrlem2  24769  chordthmlem2  24780  cxplim  24918  nv1  27864  nmblolbii  27988  norm1  28440  norm1exi  28441  nmbdoplbi  29217  nmcoplbi  29221  nmbdfnlbi  29242  nmcfnlbi  29245  branmfn  29298  strlem1  29443  dya2icoseg  30673  logdivsqrle  31062  irrapxlem2  37906  irrapxlem5  37909  pell1234qrreccl  37937  pell14qrdich  37952  radcnvrat  39032  hashnzfzclim  39040  reclt0  40124  ltdiv23neg  40127  sumnnodd  40374  ioodvbdlimc1lem2  40659  ioodvbdlimc2lem  40661  stoweidlem7  40735  stoweidlem11  40739  stoweidlem14  40742  stoweidlem25  40753  stoweidlem36  40764  stoweidlem42  40770  stirlinglem10  40811  stirlinglem11  40812  stirlinglem12  40813  fourierdlem40  40875  fourierdlem78  40912  pimrecltpos  41433  pimrecltneg  41447
  Copyright terms: Public domain W3C validator