MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswcshw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswcshw 13679
Description: A cyclically shifted "repeated symbol word". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswcshw ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswcshw
StepHypRef Expression
1 0csh0 13660 . . . . 5 (∅ cyclShift 𝐼) = ∅
2 repsw0 13645 . . . . . 6 (𝑆𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
32oveq1d 6780 . . . . 5 (𝑆𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (∅ cyclShift 𝐼))
41, 3, 23eqtr4a 2784 . . . 4 (𝑆𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
543ad2ant1 1125 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
6 oveq2 6773 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑆 repeatS 0))
76oveq1d 6780 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼))
87, 6eqeq12d 2739 . . 3 (𝑁 = 0 → (((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0)))
95, 8syl5ibr 236 . 2 (𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
10 idd 24 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝑆𝑉𝑆𝑉))
11 df-ne 2897 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
12 elnnne0 11419 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
1312simplbi2com 658 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ))
1411, 13sylbir 225 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ))
15 idd 24 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ))
1610, 14, 153anim123d 1519 . . 3 𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)))
17 nnnn0 11412 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1817anim2i 594 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
19 repsw 13643 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
21 cshword 13658 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩)))
2220, 21stoic3 1814 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩)))
23 repswlen 13644 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2418, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2524oveq2d 6781 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝐼 mod 𝑁))
2625, 24opeq12d 4517 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩ = ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩)
2726oveq2d 6781 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) = ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩))
2825opeq2d 4516 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ⟨0, (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩ = ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)
2928oveq2d 6781 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩) = ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩))
3027, 29oveq12d 6783 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩)) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)))
31303adant3 1124 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩)) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)))
32183adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
33 zmodcl 12805 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3433ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3517adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3634, 35jca 555 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
37363adant1 1122 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
38 nnre 11140 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3938leidd 10707 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
40393ad2ant2 1126 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁𝑁)
41 repswswrd 13652 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑁) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
4232, 37, 40, 41syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
43 0nn0 11420 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
4434, 43jctil 561 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0))
45443adant1 1122 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0))
46 zre 11494 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
47 nnrp 11956 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
48 modcl 12787 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
4946, 47, 48syl2anr 496 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
5038adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
51 modlt 12794 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
5246, 47, 51syl2anr 496 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
5349, 50, 52ltled 10298 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
54533adant1 1122 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
55 repswswrd 13652 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩) = (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0)))
5632, 45, 54, 55syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩) = (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0)))
5742, 56oveq12d 6783 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)) = ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0))))
58 simp1 1128 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑆𝑉)
5933nn0red 11465 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
6059ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
6160, 50, 52ltled 10298 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
62613adant1 1122 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
63343adant1 1122 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
64173ad2ant2 1126 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
65 nn0sub 11456 . . . . . . . 8 (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
6663, 64, 65syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
6762, 66mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0)
6833nn0ge0d 11467 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐼 mod 𝑁))
6968ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝐼 mod 𝑁))
70693adant1 1122 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝐼 mod 𝑁))
7163, 43jctil 561 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0))
72 nn0sub 11456 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐼 mod 𝑁) ↔ ((𝐼 mod 𝑁) − 0) ∈ ℕ0))
7371, 72syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐼 mod 𝑁) ↔ ((𝐼 mod 𝑁) − 0) ∈ ℕ0))
7470, 73mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) − 0) ∈ ℕ0)
75 repswccat 13653 . . . . . 6 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐼 mod 𝑁) − 0) ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0))))
7658, 67, 74, 75syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0))))
77 nncn 11141 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
7877adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7933nn0cnd 11466 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
80 0cnd 10146 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℂ)
8178, 79, 80npncand 10529 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0)) = (𝑁 − 0))
8277subid1d 10494 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
8382adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
8481, 83eqtrd 2758 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0)) = 𝑁)
8584ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0)) = 𝑁)
86853adant1 1122 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0)) = 𝑁)
8786oveq2d 6781 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
8857, 76, 873eqtrd 2762 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
8922, 31, 883eqtrd 2762 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
9016, 89syl6 35 . 2 𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
919, 90pm2.61i 176 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  c0 4023  cop 4291   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049   + caddc 10052   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379  cn 11133  0cn0 11405  cz 11490  +crp 11946   mod cmo 12783  chash 13232  Word cword 13398   ++ cconcat 13400   substr csubstr 13402   repeatS creps 13405   cyclShift ccsh 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-hash 13233  df-word 13406  df-concat 13408  df-substr 13410  df-reps 13413  df-csh 13656
This theorem is referenced by:  cshwrepswhash1  15932
  Copyright terms: Public domain W3C validator