MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswccat 13741
Description: The concatenation of two "repeated symbol words" with the same symbol is again a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswccat ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem repswccat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 13732 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
213adant3 1126 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
3 repswlen 13732 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
433adant2 1125 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀)
52, 4oveq12d 6814 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
65oveq2d 6812 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
7 simp1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑆𝑉)
87adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆𝑉)
9 simpl2 1229 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
102oveq2d 6812 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
1110eleq2d 2836 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
1211biimpa 462 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
138, 9, 123jca 1122 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
1413adantlr 694 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
15 repswsymb 13730 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥) = 𝑆)
177ad2antrr 705 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑆𝑉)
18 simpll3 1258 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
192, 4jca 501 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀))
20 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)))
2120anim1i 602 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
22 nn0z 11607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
23 nn0z 11607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2422, 23anim12i 600 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2524ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
26 fzocatel 12740 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))
2721, 25, 26syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))
2827exp31 406 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
29283adant1 1124 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
30 oveq12 6805 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))) = (𝑁 + 𝑀))
3130oveq2d 6812 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) = (0..^(𝑁 + 𝑀)))
3231eleq2d 2836 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀))))
33 oveq2 6804 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
3433eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
3534notbid 307 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
3635adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)))
37 oveq2 6804 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝑥𝑁))
3837eleq1d 2835 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
3938adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))
4036, 39imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀))))
4132, 40imbi12d 333 . . . . . . . 8 (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥𝑁) ∈ (0..^𝑀)))))
4229, 41syl5ibr 236 . . . . . . 7 (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁 ∧ (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)) = 𝑀) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)))))
4319, 42mpcom 38 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))))
4443imp31 404 . . . . 5 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀))
45 repswsymb 13730 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
4617, 18, 44, 45syl3anc 1476 . . . 4 ((((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) = 𝑆)
4716, 46ifeqda 4261 . . 3 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀))))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))) = 𝑆)
486, 47mpteq12dva 4867 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
49 ovex 6827 . . . 4 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
50 ovex 6827 . . . 4 (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V
5149, 50pm3.2i 456 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V)
52 ccatfval 13555 . . 3 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V ∧ (𝑆 repeatS 𝑀) ∈ V) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
5351, 52mp1i 13 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) + (♯‘(𝑆 repeatS 𝑀)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))), ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑥), ((𝑆 repeatS 𝑀)‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))))))
54 nn0addcl 11535 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
55543adant1 1124 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0)
56 reps 13726 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
577, 55, 56syl2anc 573 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 + 𝑀)) ↦ 𝑆))
5848, 53, 573eqtr4d 2815 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁) ++ (𝑆 repeatS 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 + 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  ifcif 4226  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142   + caddc 10145  cmin 10472  0cn0 11499  cz 11584  ..^cfzo 12673  chash 13321   ++ cconcat 13489   repeatS creps 13494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-concat 13497  df-reps 13502
This theorem is referenced by:  repswcshw  13767  repsw2  13903  repsw3  13904
  Copyright terms: Public domain W3C validator