Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reofld 30170
Description: The real numbers form an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
reofld fld ∈ oField

Proof of Theorem reofld
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 refld 20187 . 2 fld ∈ Field
2 isfld 18978 . . . . 5 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
32simplbi 478 . . . 4 (ℝfld ∈ Field → ℝfld ∈ DivRing)
4 drngring 18976 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 fld ∈ Ring
6 ringgrp 18772 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
8 grpmnd 17650 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Grp → ℝfld ∈ Mnd)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Mnd
10 retos 20186 . . . . 5 fld ∈ Toset
11 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ)
12 simpr1 1234 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
13 simpr2 1236 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14 simpr3 1238 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑏)
1511, 12, 13, 14leadd1dd 10853 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
16153anassrs 1454 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑎𝑏) → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
1716ex 449 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
18173impa 1101 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐)))
1918rgen3 3114 . . . . 5 𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))
20 rebase 20174 . . . . . 6 ℝ = (Base‘ℝfld)
21 replusg 20178 . . . . . 6 + = (+g‘ℝfld)
22 rele2 20182 . . . . . 6 ≤ = (le‘ℝfld)
2320, 21, 22isomnd 30031 . . . . 5 (ℝfld ∈ oMnd ↔ (ℝfld ∈ Mnd ∧ ℝfld ∈ Toset ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ (𝑎𝑏 → (𝑎 + 𝑐) ≤ (𝑏 + 𝑐))))
249, 10, 19, 23mpbir3an 1427 . . . 4 fld ∈ oMnd
25 isogrp 30032 . . . 4 (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
267, 24, 25mpbir2an 993 . . 3 fld ∈ oGrp
27 mulge0 10758 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
2827an4s 904 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
2928ex 449 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏)))
3029rgen2a 3115 . . 3 𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))
31 re0g 20180 . . . 4 0 = (0g‘ℝfld)
32 remulr 20179 . . . 4 · = (.r‘ℝfld)
3320, 31, 32, 22isorng 30129 . . 3 (ℝfld ∈ oRing ↔ (ℝfld ∈ Ring ∧ ℝfld ∈ oGrp ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ((0 ≤ 𝑎 ∧ 0 ≤ 𝑏) → 0 ≤ (𝑎 · 𝑏))))
345, 26, 30, 33mpbir3an 1427 . 2 fld ∈ oRing
35 isofld 30132 . 2 (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
361, 34, 35mpbir2an 993 1 fld ∈ oField
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  wral 3050   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148   + caddc 10151   · cmul 10153  cle 10287  Tosetctos 17254  Mndcmnd 17515  Grpcgrp 17643  Ringcrg 18767  CRingccrg 18768  DivRingcdr 18969  Fieldcfield 18970  fldcrefld 20172  oMndcomnd 30027  oGrpcogrp 30028  oRingcorng 30125  oFieldcofld 30126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-toset 17255  df-ps 17421  df-tsr 17422  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-subg 17812  df-cmn 18415  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-field 18972  df-subrg 19000  df-cnfld 19969  df-refld 20173  df-omnd 30029  df-ogrp 30030  df-orng 30127  df-ofld 30128
This theorem is referenced by:  nn0omnd  30171  rearchi  30172  rerrext  30383  cnrrext  30384
  Copyright terms: Public domain W3C validator