Theorem renepnf 10125

Description: No (finite) real equals plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
renepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem renepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 10119	. . . 4 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2928	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		eleq1 2718	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
4	2, 3	mtbiri 316	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	necon2ai 2852	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ℝcr 9973  +∞cpnf 10109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-uni 4469  df-pnf 10114

This theorem is referenced by:  renepnfd  10128  renfdisj  10136  xrnepnf  11990  rexneg  12080  rexadd  12101  xaddnepnf  12106  xaddcom  12109  xaddid1  12110  xnn0xadd0  12115  xnegdi  12116  xpncan  12119  xleadd1a  12121  rexmul  12139  xmulpnf1  12142  xadddilem  12162  rpsup  12705  hashneq0  13193  hash1snb  13245  xrsnsgrp  19830  xaddeq0  29646  icorempt2  33329  ovoliunnfl  33581  voliunnfl  33583  volsupnfl  33584  supxrgelem  39866  supxrge  39867  infleinflem1  39899  infleinflem2  39900  xrre4  39951  supminfxr2  40012  climxrre  40300  sge0repnf  40921  voliunsge0lem  41007