MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcli 10380
Description: Closure law for negative of reals. (Note: this inference proof style and the deduction theorem usage in renegcl 10382 is deprecated, but is retained for its demonstration value.) (Contributed by NM, 17-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
renegcl.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
renegcli -𝐴 ∈ ℝ

Proof of Theorem renegcli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ax-rnegex 10045 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
3 recn 10064 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 df-neg 10307 . . . . . . 7 -𝐴 = (0 − 𝐴)
54eqeq1i 2656 . . . . . 6 (-𝐴 = 𝑥 ↔ (0 − 𝐴) = 𝑥)
6 0cn 10070 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
71recni 10090 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
8 subadd 10322 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
96, 7, 8mp3an12 1454 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 − 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
105, 9syl5bb 272 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
113, 10syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 ↔ (𝐴 + 𝑥) = 0))
12 eleq1a 2725 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝐴 = 𝑥 → -𝐴 ∈ ℝ))
1311, 12sylbird 250 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ))
1413rexlimiv 3056 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ)
151, 2, 14mp2b 10 1 -𝐴 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  resubcli  10381  renegcl  10382  recgt0ii  10967  inelr  11048  cju  11054  neg1rr  11163  sincos2sgn  14968  dvdslelem  15078  divalglem1  15164  divalglem6  15168  modsubi  15823  neghalfpire  24262  coseq0negpitopi  24300  pige3  24314  negpitopissre  24331  eff1o  24340  ellogrn  24351  logimclad  24364  logneg  24379  logcj  24397  argregt0  24401  argrege0  24402  argimgt0  24403  argimlt0  24404  logimul  24405  logneg2  24406  logcnlem3  24435  dvloglem  24439  logf1o2  24441  efopnlem2  24448  cxpsqrtlem  24493  abscxpbnd  24539  logreclem  24545  ang180lem2  24585  asinneg  24658  asinsin  24664  asin1  24666  asinrecl  24674  atanlogaddlem  24685  atanlogsublem  24687  atanlogsub  24688  atantan  24695  atanbndlem  24697  birthday  24726  ppiub  24974  lgsdir2lem1  25095  ex-fl  27434  ex-ceil  27435  normlem2  28096  logdivsqrle  30856  logi  31746  bj-pinftyccb  33238  bj-minftyccb  33242  bj-pinftynminfty  33244  cos2h  33530  tan2h  33531  renegclALT  34567  fourierdlem5  40647  fourierdlem9  40651  fourierdlem18  40660  fourierdlem24  40666  fourierdlem38  40680  fourierdlem40  40682  fourierdlem43  40685  fourierdlem44  40686  fourierdlem46  40687  fourierdlem50  40691  fourierdlem62  40703  fourierdlem66  40707  fourierdlem74  40715  fourierdlem75  40716  fourierdlem76  40717  fourierdlem77  40718  fourierdlem78  40719  fourierdlem83  40724  fourierdlem85  40726  fourierdlem87  40728  fourierdlem88  40729  fourierdlem93  40734  fourierdlem94  40735  fourierdlem95  40736  fourierdlem101  40742  fourierdlem102  40743  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem111  40752  fourierdlem112  40753  fourierdlem113  40754  fourierdlem114  40755  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764  fouriersw  40766  fouriercn  40767
  Copyright terms: Public domain W3C validator