MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcl 10382
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4172 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 10380, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 10311 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
21eleq1d 2715 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
43elimel 4183 . . 3 if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
54renegcli 10380 . 2 -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
62, 5dedth 4172 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  ifcif 4119  cr 9973  1c1 9975  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  resubcl  10383  negreb  10384  renegcld  10495  negn0  10497  negf1o  10498  ltnegcon1  10567  ltnegcon2  10568  lenegcon1  10570  lenegcon2  10571  mullt0  10585  mulge0b  10931  mulle0b  10932  negfi  11009  fiminre  11010  infm3lem  11019  infm3  11020  riotaneg  11040  elnnz  11425  btwnz  11517  ublbneg  11811  supminf  11813  uzwo3  11821  zmax  11823  rebtwnz  11825  rpneg  11901  negelrp  11902  max0sub  12065  xnegcl  12082  xnegneg  12083  xltnegi  12085  rexsub  12102  xnegid  12107  xnegdi  12116  xpncan  12119  xnpcan  12120  xadddi  12163  iooneg  12330  iccneg  12331  icoshftf1o  12333  dfceil2  12680  ceicl  12682  ceige  12684  ceim1l  12686  negmod0  12717  negmod  12755  addmodlteq  12785  crim  13899  cnpart  14024  sqrtneglem  14051  absnid  14082  max0add  14094  absdiflt  14101  absdifle  14102  sqreulem  14143  resinhcl  14930  rpcoshcl  14931  tanhlt1  14934  tanhbnd  14935  remulg  20001  resubdrg  20002  cnheiborlem  22800  evth2  22806  ismbf3d  23466  mbfinf  23477  itgconst  23630  reeff1o  24246  atanbnd  24698  sgnneg  30730  ltflcei  33527  cos2h  33530  iblabsnclem  33603  ftc1anclem1  33615  areacirclem2  33631  areacirclem3  33632  areacirc  33635  mulltgt0  39495  rexabslelem  39958  xnegrecl  39978  supminfrnmpt  39985  supminfxr  40007  limsupre  40191  climinf3  40266  liminfreuzlem  40352  stoweidlem10  40545  etransclem46  40815  smfinflem  41344
  Copyright terms: Public domain W3C validator