Theorem relss 5363

Description: Subclass theorem for relation predicate. Theorem 2 of [Suppes] p. 58. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
relss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (Rel 𝐵 → Rel 𝐴))

Proof of Theorem relss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3751	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ (V × V) → 𝐴 ⊆ (V × V)))
2		df-rel 5273	. 2 ⊢ (Rel 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ (V × V))
3		df-rel 5273	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ (V × V))
4	1, 2, 3	3imtr4g 285	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (Rel 𝐵 → Rel 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   × cxp 5264  Rel wrel 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-in 3722  df-ss 3729  df-rel 5273

This theorem is referenced by:  relin1  5392  relin2  5393  reldif  5394  relres  5584  iss  5605  cnvdif  5697  difxp  5716  sofld  5739  funss  6068  funssres  6091  fliftcnv  6724  fliftfun  6725  frxp  7455  reltpos  7526  tpostpos  7541  swoer  7941  erinxp  7988  sbthcl  8247  fpwwe2lem8  9651  fpwwe2lem9  9652  fpwwe2lem12  9655  recmulnq  9978  prcdnq  10007  ltrel  10292  lerel  10294  dfle2  12173  dflt2  12174  pwsle  16354  isinv  16621  invsym2  16624  invfun  16625  oppcsect2  16640  oppcinv  16641  relfull  16769  relfth  16770  psss  17415  gicer  17919  gsum2d  18571  isunit  18857  opsrtoslem2  19687  txdis1cn  21640  hmpher  21789  tgphaus  22121  qustgplem  22125  tsmsxp  22159  xmeter  22439  ovoliunlem1  23470  taylf  24314  lgsquadlem1  25304  lgsquadlem2  25305  nvrel  27766  phrel  27979  bnrel  28032  hlrel  28055  elrn3  31959  sscoid  32326  trer  32616  fneer  32654  heicant  33757  iss2  34435  dvhopellsm  36908  diclspsn  36985  dih1dimatlem  37120