MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relogcl 24513
Description: Closure of the natural logarithm function on positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
relogcl (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogcl
StepHypRef Expression
1 fvres 6360 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) = (log‘𝐴))
2 relogf1o 24504 . . . 4 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
3 f1of 6290 . . . 4 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
42, 3ax-mp 5 . . 3 (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
54ffvelrni 6513 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) ∈ ℝ)
61, 5eqeltrrd 2832 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  cres 5260  wf 6037  1-1-ontowf1o 6040  cfv 6041  cr 10119  +crp 12017  logclog 24492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-log 24494
This theorem is referenced by:  logneg  24525  lognegb  24527  relogoprlem  24528  reexplog  24532  relogexp  24533  logfac  24538  logleb  24540  rplogcl  24541  logmul2  24553  logdiv2  24554  abslogle  24555  logdivlti  24557  logdivlt  24558  logdivle  24559  relogcld  24560  advlog  24591  advlogexp  24592  logccv  24600  logcxp  24606  rpcxpcl  24613  cxpmul  24625  abscxp  24629  cxple2  24634  logsqrt  24641  dvcxp1  24672  dvcxp2  24673  loglesqrt  24690  relogbcl  24702  relogbmul  24706  log2ub  24867  log2le1  24868  birthday  24872  cxploglim  24895  cxploglim2  24896  amgmlem  24907  logdifbnd  24911  emcllem7  24919  emre  24923  emgt0  24924  harmonicbnd3  24925  harmoniclbnd  24926  harmonicbnd4  24928  relgamcl  24979  cht2  25089  chtleppi  25126  chtublem  25127  chtub  25128  logfacubnd  25137  logfaclbnd  25138  logfacbnd3  25139  logfacrlim  25140  logexprlim  25141  efexple  25197  bposlem6  25205  bposlem7  25206  bposlem8  25207  bposlem9  25208  chebbnd1lem3  25351  chebbnd1  25352  chto1ub  25356  vmadivsum  25362  rpvmasumlem  25367  dchrvmasumlem2  25378  dchrvmasumlema  25380  dchrvmasumiflem1  25381  dchrvmasumiflem2  25382  dchrisum0fno1  25391  rpvmasum2  25392  dchrisum0re  25393  rpvmasum  25406  rplogsum  25407  dirith2  25408  logdivsum  25413  mulog2sumlem2  25415  mulog2sumlem3  25416  logsqvma  25422  log2sumbnd  25424  selberglem1  25425  selberglem2  25426  selberglem3  25427  selberg  25428  selberg2lem  25430  selberg2  25431  pntrsumo1  25445  selbergr  25448  pntrlog2bndlem4  25460  pntibndlem3  25472  xrge0iifiso  30282  logdivsqrle  31029  hgt750lem  31030  hgt750lemb  31035  reglogcl  37948  reglogltb  37949  reglogleb  37950  reglogmul  37951  reglogexp  37952  reglogbas  37953  reglog1  37954  stirlinglem12  40797  stirlinglem13  40798  stirlinglem14  40799  lighneallem2  42025  logbge0b  42859  logblt1b  42860
  Copyright terms: Public domain W3C validator