Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rellysconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rellysconn 31540
 Description: The real numbers are locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rellysconn (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn

Proof of Theorem rellysconn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 22766 . 2 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 tg2 20971 . . . 4 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦𝑧𝑧𝑥))
3 retopbas 22765 . . . . . . . . . 10 ran (,) ∈ TopBases
4 bastg 20972 . . . . . . . . . 10 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
6 simprl 811 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ran (,))
75, 6sseldi 3742 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ (topGen‘ran (,)))
8 simprrr 824 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧𝑥)
9 selpw 4309 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑥𝑧𝑥)
108, 9sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑥)
117, 10elind 3941 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥))
12 simprrl 823 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → 𝑦𝑧)
13 ioof 12464 . . . . . . . . . 10 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
14 ffn 6206 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
15 ovelrn 6975 . . . . . . . . . 10 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏)))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏))
17 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)))
18 ioosconn 31536 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝑎(,)𝑏)) ∈ SConn
1917, 18syl6eqel 2847 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2019rexlimivw 3167 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2120rexlimivw 3167 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑎(,)𝑏) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2216, 21sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ran (,) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2322ad2antrl 766 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
2411, 12, 23jca32 559 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥))) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
2524ex 449 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑧 ∈ ran (,) ∧ (𝑦𝑧𝑧𝑥)) → (𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ (𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))))
2625reximdv2 3152 . . . 4 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧 ∈ ran (,)(𝑦𝑧𝑧𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
272, 26mpd 15 . . 3 ((𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn))
2827rgen2 3113 . 2 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦𝑥𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)
29 islly 21473 . 2 ((topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn ↔ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑦𝑥𝑧 ∈ ((topGen‘ran (,)) ∩ 𝒫 𝑥)(𝑦𝑧 ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝑧) ∈ SConn)))
301, 28, 29mpbir2an 993 1 (topGen‘ran (,)) ∈ Locally SConn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302   × cxp 5264  ran crn 5267   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  ℝ*cxr 10265  (,)cioo 12368   ↾t crest 16283  topGenctg 16300  Topctop 20900  TopBasesctb 20951  Locally clly 21469  SConncsconn 31509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-conn 21417  df-lly 21471  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-ii 22881  df-htpy 22970  df-phtpy 22971  df-phtpc 22992  df-pconn 31510  df-sconn 31511 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator