Theorem relfunc 16723

Description: The set of functors is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfunc	⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Proof of Theorem relfunc

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 16719	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	relmpt2opab 7427	1 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  [wsbc 3576  ⟨cop 4327   × cxp 5264  Rel wrel 5271  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1^st c1st 7331  2^nd c2nd 7332   ↑_𝑚 cmap 8023  Xcixp 8074  Basecbs 16059  Hom chom 16154  compcco 16155  Catccat 16526  Idccid 16527   Func cfunc 16715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-func 16719

This theorem is referenced by:  cofuval  16743  cofu1  16745  cofu2  16747  cofuval2  16748  cofucl  16749  cofuass  16750  cofulid  16751  cofurid  16752  funcres  16757  funcres2  16759  wunfunc  16760  funcpropd  16761  relfull  16769  relfth  16770  isfull  16771  isfth  16775  idffth  16794  cofull  16795  cofth  16796  ressffth  16799  isnat  16808  isnat2  16809  nat1st2nd  16812  fuccocl  16825  fucidcl  16826  fuclid  16827  fucrid  16828  fucass  16829  fucsect  16833  fucinv  16834  invfuc  16835  fuciso  16836  natpropd  16837  fucpropd  16838  catciso  16958  prfval  17040  prfcl  17044  prf1st  17045  prf2nd  17046  1st2ndprf  17047  evlfcllem  17062  evlfcl  17063  curf1cl  17069  curf2cl  17072  curfcl  17073  uncf1  17077  uncf2  17078  curfuncf  17079  uncfcurf  17080  diag1cl  17083  diag2cl  17087  curf2ndf  17088  yon1cl  17104  oyon1cl  17112  yonedalem1  17113  yonedalem21  17114  yonedalem3a  17115  yonedalem4c  17118  yonedalem22  17119  yonedalem3b  17120  yonedalem3  17121  yonedainv  17122  yonffthlem  17123  yoniso  17126