Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpxpmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpxpmin 38326
Description: The composition of powers of a cross-product of non-disjoint sets is the cross product raised to the minimum exponent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpxpmin (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpxpmin
StepHypRef Expression
1 elnn0 11332 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 elnn0 11332 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
3 ifeqor 4165 . . . . . . . . . . 11 (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)
4 andi 929 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
54biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) → ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
63, 5mpan2 707 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
7 eqtr 2670 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
8 eqtr 2670 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾) → 𝐼 = 𝐾)
97, 8orim12i 537 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) → (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐾))
10 relexpxpnnidm 38312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵)))
1110imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵))
12113ad2antl3 1245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵))
13 relexpxpnnidm 38312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵)))
1413imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
15143ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
1615oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾))
17 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 𝐽)
1817oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽))
1918, 15eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = (𝐴 × 𝐵))
2012, 16, 193eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
21203exp1 1305 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 𝐽 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
22143ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
23 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 𝐾)
2423eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 𝐼)
2522, 24oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
26253exp1 1305 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 𝐾 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
2721, 26jaoi 393 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
286, 9, 273syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
2928com13 88 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
30 simp3 1083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾))
31 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐽 = 0)
32 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ)
3332nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 0 < 𝐾)
3431, 33eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐽 < 𝐾)
3534iftrued 4127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽)
3630, 35, 313eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = 0)
37 simpr1 1087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐴𝑈)
38 simpr2 1088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐵𝑉)
39 xpexg 7002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4037, 38, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
41 dmexg 7139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
42 rnexg 7140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4341, 42jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
44 unexg 7001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
4540, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
46 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ ℕ)
4746nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
48 relexpiidm 38313 . . . . . . . . . . . . 13 (((dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
4945, 47, 48syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
50 simpl2 1085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐽 = 0)
5150oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
52 relexp0g 13806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5340, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5451, 53eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5554oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾))
56 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
5756oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
5857, 53eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5949, 55, 583eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
6059ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
6136, 60syld3an3 1411 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
62613exp 1283 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 = 0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
6329, 62jaod 394 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0) → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
642, 63syl5bi 232 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
65 simp1 1081 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐾 = 0)
662biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
67663ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
68 simp3 1083 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾))
69 nn0nlt0 11357 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐽 < 0)
70693ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ¬ 𝐽 < 0)
7165breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → (𝐽 < 𝐾𝐽 < 0))
7270, 71mtbird 314 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ¬ 𝐽 < 𝐾)
7372iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)
7468, 73, 653eqtrd 2689 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = 0)
75133ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵)))
7675imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
7776oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
78 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 0)
7978oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟0))
80 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
8180oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
8277, 79, 813eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
83823exp1 1305 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
84 simpr1 1087 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐴𝑈)
85 simpr2 1088 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐵𝑉)
8684, 85, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
87 relexp0idm 38324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
89 simpl2 1085 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐽 = 0)
9089oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
91 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 0)
9290, 91oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0))
93 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
9493oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
9588, 92, 943eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
96953exp1 1305 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝐽 = 0 → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9783, 96jaod 394 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0) → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9865, 67, 74, 97syl3c 66 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
99983exp 1283 . . . . . 6 (𝐾 = 0 → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
10064, 99jaoi 393 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0) → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
1011, 100sylbi 207 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
102101com13 88 . . 3 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
1031023imp 1275 . 2 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
104103impcom 445 1 (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  c0 3948  ifcif 4119   class class class wbr 4685   I cid 5052   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  (class class class)co 6690  0cc0 9974   < clt 10112  cn 11058  0cn0 11330  𝑟crelexp 13804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-relexp 13805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator