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Theorem relexpmulnn 38318
Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpmulnn (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulnn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1))
2 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 1))
32oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
41, 3eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1))))
54imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))))
6 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦))
7 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝑦))
87oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))
96, 8eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))))
109imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))))
11 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)))
12 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
1312oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
1411, 13eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1)))))
1514imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
16 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾))
17 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝐾))
1817oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))
1916, 18eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
2019imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
21 ovexd 6720 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅𝑟𝐽) ∈ V)
2221relexp1d 13815 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟𝐽))
23 simp1 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 ∈ ℕ)
24 nnre 11065 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℝ)
25 ax-1rid 10044 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 · 1) = 𝐽)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
2726eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 = (𝐽 · 1))
2827oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅𝑟𝐽) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
2922, 28eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
30 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑟𝐽) ∈ V
31 simp1 1081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ)
32 relexpsucnnr 13809 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅𝑟𝐽) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
3330, 31, 32sylancr 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
34 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))
3534coeq1d 5316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
36 simp21 1114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℕ)
3736, 31nnmulcld 11106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ)
38 simp22 1115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑅𝑉)
39 relexpaddnn 13835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4037, 36, 38, 39syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4135, 40eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4236nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℂ)
4331nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
44 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
4542, 43, 44adddid 10102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · (𝑦 + 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)))
4642mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
4746oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽))
4845, 47eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
4948oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
5041, 49eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
5133, 50eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
52513exp 1283 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
5352a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
545, 10, 15, 20, 29, 53nnind 11076 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
55543expd 1306 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))))
5655impcom 445 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑅𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
5756impd 446 . . 3 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
5857impcom 445 . 2 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))
59 simplr 807 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
6059eqcomd 2657 . . 3 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐽 · 𝐾) = 𝐼)
6160oveq2d 6706 . 2 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)) = (𝑅𝑟𝐼))
6258, 61eqtrd 2685 1 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  ccom 5147  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cn 11058  𝑟crelexp 13804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-relexp 13805
This theorem is referenced by:  relexpmulg  38319
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