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Theorem relexpindlem 13797
Description: Principle of transitive induction, finite and non-class version. The first three hypotheses give various existences, the next three give necessary substitutions and the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpindlem.1 (𝜂 → Rel 𝑅)
relexpindlem.2 (𝜂𝑅 ∈ V)
relexpindlem.3 (𝜂𝑆 ∈ V)
relexpindlem.4 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
relexpindlem.5 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
relexpindlem.6 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
relexpindlem.7 (𝜂𝜒)
relexpindlem.8 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
Assertion
Ref Expression
relexpindlem (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑖   𝑥,𝑛   𝑖,𝑗,𝑅,𝑥   𝑆,𝑖,𝑗,𝑥   𝜂,𝑖,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝜓,𝑖,𝑗   𝜒,𝑖   𝜃,𝑖   𝜂,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑛)   𝜒(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑛)   𝜂(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem relexpindlem
Dummy variables 𝑙 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2 eleq1 2688 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
32anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))
4 oveq2 6655 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟0))
54breqd 4662 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟0)𝑥))
65imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
76albidv 1848 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
83, 7imbi12d 334 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))))
9 eleq1 2688 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0))
109anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂𝑙 ∈ ℕ0)))
11 oveq2 6655 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟𝑙))
1211breqd 4662 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑙 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥))
1312imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
1413albidv 1848 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
1510, 14imbi12d 334 . . . . 5 (𝑘 = 𝑙 → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓))))
16 eleq1 2688 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0))
1716anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0)))
18 oveq2 6655 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟(𝑙 + 1)))
1918breqd 4662 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥))
2019imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
2120albidv 1848 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
2217, 21imbi12d 334 . . . . 5 (𝑘 = (𝑙 + 1) → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))))
23 eleq1 2688 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0))
2423anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) ↔ (𝜂𝑛 ∈ ℕ0)))
25 oveq2 6655 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑅𝑟𝑘) = (𝑅𝑟𝑛))
2625breqd 4662 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥))
2726imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
2827albidv 1848 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
2924, 28imbi12d 334 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜂𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑘)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))))
30 relexpindlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜂𝑅 ∈ V)
31 relexpindlem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜂 → Rel 𝑅)
3230, 31jca 554 . . . . . . . . 9 (𝜂 → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅))
34 relexp0 13757 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅))
36 relexpindlem.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜂𝜒)
3736adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝜒)
38 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝜂)
39 relexpindlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜂𝑆 ∈ V)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜒𝜂) → 𝑆 ∈ V)
41 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 = 𝑆 ∧ (𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆))) → 𝜂)
4241, 36jccil 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 = 𝑆 ∧ (𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆))) → (𝜒𝜂))
4342expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒𝜂)))
4443expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 = 𝑆) → (𝜂 → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒𝜂))))
4544expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑 → (𝜂 → (𝑖 = 𝑆 → (𝜒𝜂)))))
46453imp1 1279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝜒𝜂))
4746expcom 451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) → (𝜒𝜂)))
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜂𝑖 = 𝑆) → 𝑖 = 𝑆)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝑖 = 𝑆)
50 relexpindlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑆 → (𝜑𝜒))
5150ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → (𝜑𝜒))
5251bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → (𝜒𝜑))
53 anbi1 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝜑) → ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) ↔ (𝜑 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆))))
54 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
5553, 54syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝜑) → ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜑))
5652, 55mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜑)
57 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → 𝜂)
5849, 56, 573jca 1241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜒 ∧ (𝜂𝑖 = 𝑆)) → (𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
5958anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜒𝜂) ∧ 𝑖 = 𝑆) → (𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
6059expcom 451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑆 → ((𝜒𝜂) → (𝑖 = 𝑆𝜑𝜂)))
6147, 60impbid 202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑆 → ((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ↔ (𝜒𝜂)))
6261spcegv 3292 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ V → ((𝜒𝜂) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂)))
6340, 62mpcom 38 . . . . . . . . . 10 ((𝜒𝜂) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
6437, 38, 63syl2anc 693 . . . . . . . . 9 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂))
65 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥)
66 df-br 4652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅))
6765, 66sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅))
68 vex 3201 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
6968opelres 5399 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝑅) ↔ (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅))
7067, 69sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → (⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅))
71 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
72 df-br 4652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 I 𝑥 ↔ ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I )
7371, 72sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 I 𝑥)
7468ideq 5272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 I 𝑥𝑆 = 𝑥)
7573, 74sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑆, 𝑥⟩ ∈ I ∧ 𝑆 𝑅) ∧ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 = 𝑥)
7670, 75mpancom 703 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝑆 = 𝑥)
77 breq1 4654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑥 → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥))
78 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 = 𝑥 → (𝑖 = 𝑆𝑖 = 𝑥))
79783anbi1d 1402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ↔ (𝑖 = 𝑥𝜑𝜂)))
8079exbidv 1849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝑥 → (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ↔ ∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂)))
8180anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑥 → ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)) ↔ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))))
8277, 81anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) ↔ (𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)))))
83 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → 𝜑)
84 relexpindlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑𝜓))
8584ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → (𝜑𝜓))
8683, 85mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜂 ∧ (𝜑𝑖 = 𝑥)) → 𝜓)
8786expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 = 𝑥) → (𝜂𝜓))
8887expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑥 → (𝜑 → (𝜂𝜓)))
89883imp 1255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) → 𝜓)
9089exlimiv 1857 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) → 𝜓)
9190ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑥𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
9282, 91syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 = 𝑥 → ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓))
9376, 92mpcom 38 . . . . . . . . . 10 ((𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥 ∧ (∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0))) → 𝜓)
9493expcom 451 . . . . . . . . 9 ((∃𝑖(𝑖 = 𝑆𝜑𝜂) ∧ (𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓))
9564, 94mpancom 703 . . . . . . . 8 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓))
96 breq 4653 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥))
9796imbi1d 331 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → ((𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓) ↔ (𝑆( I ↾ 𝑅)𝑥𝜓)))
9895, 97syl5ibr 236 . . . . . . 7 ((𝑅𝑟0) = ( I ↾ 𝑅) → ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓)))
9935, 98mpcom 38 . . . . . 6 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))
10099alrimiv 1854 . . . . 5 ((𝜂 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟0)𝑥𝜓))
101 breq2 4655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑥 → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥))
102101, 84imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑥 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)))
103102cbvalv 2272 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓))
104103bicomi 214 . . . . . . . . 9 (∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))
105 imbi2 338 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ↔ ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))))
106105anbi1d 741 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ↔ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))
107106anbi2d 740 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))))
108107anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ↔ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))))
10930adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → 𝑅 ∈ V)
11031adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → Rel 𝑅)
111 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
112 relexpsucl 13767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)))
113109, 110, 111, 112syl3anc 1325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)))
114 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥)
11539ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝑆 ∈ V)
116 brcog 5286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))
117115, 68, 116sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ↔ ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))
118114, 117mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))
119 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝜂)
120 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
121120ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
122119, 121jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → (𝜂𝑙 ∈ ℕ0))
123 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)))
124123ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)))
125122, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑))
126 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜂)
127 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝑗𝑅𝑥)
128127ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑗𝑅𝑥)
129128ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑗𝑅𝑥)
130 breq2 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑗 → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗))
131 relexpindlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 𝑗 → (𝜑𝜃))
132130, 131imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)))
133132cbvalv 2272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)))
135 imbi2 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ↔ ((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))))
136135anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) ↔ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))
137136anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) ↔ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))
138137anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) ↔ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))))
139138anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))))
140134, 139anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) ↔ (∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))))))
141 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
142141ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
143142ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗)
144 sp 2052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
145144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃))
146143, 145mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
147140, 146syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ↔ ∀𝑗(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝜃)) → ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃))
148133, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜃)
149 relexpindlem.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜂 → (𝑗𝑅𝑥 → (𝜃𝜓)))
150126, 129, 148, 149syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑) ∧ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))))) → 𝜓)
151125, 150mpancom 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))))) → 𝜓)
152151expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
153152expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)))) → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
154153expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))))
155154anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))))
156155impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
157156anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → (𝜂 → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
158157impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜂 ∧ (((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
159158anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
160159impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥))) → 𝜓)
161160anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑗𝑗𝑅𝑥)) → 𝜓)
162118, 161exlimddv 1862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥 ∧ (𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)))) → 𝜓)
163162expcom 451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓))
164 breq 4653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥))
165164imbi1d 331 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → ((𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓) ↔ (𝑆(𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙))𝑥𝜓)))
166163, 165syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑟(𝑙 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑙)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
167113, 166mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → (𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
168167alrimiv 1854 . . . . . . . . . 10 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
169108, 168syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓) ↔ ∀𝑖(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑖𝜑)) → ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
170104, 169ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜂 ∧ ((𝑙 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0))) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
171170anassrs 680 . . . . . . 7 (((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0)) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))
172171expcom 451 . . . . . 6 ((((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓)))
173172expcom 451 . . . . 5 (𝑙 ∈ ℕ0 → (((𝜂𝑙 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑙)𝑥𝜓)) → ((𝜂 ∧ (𝑙 + 1) ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟(𝑙 + 1))𝑥𝜓))))
1748, 15, 22, 29, 100, 173nn0ind 11469 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
1751, 174mpcom 38 . . 3 ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑥(𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))
17617519.21bi 2058 . 2 ((𝜂𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓))
177176ex 450 1 (𝜂 → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆(𝑅𝑟𝑛)𝑥𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037  wal 1480   = wceq 1482  wex 1703  wcel 1989  Vcvv 3198  cop 4181   cuni 4434   class class class wbr 4651   I cid 5021  cres 5114  ccom 5116  Rel wrel 5117  (class class class)co 6647  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936  0cn0 11289  𝑟crelexp 13754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-seq 12797  df-relexp 13755
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