MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexp0rel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexp0rel 13997
Description: The exponentiation of a class to zero is a relation. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp0rel (𝑅𝑉 → Rel (𝑅𝑟0))

Proof of Theorem relexp0rel
StepHypRef Expression
1 relres 5585 . 2 Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
2 relexp0g 13982 . . 3 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
32releqd 5361 . 2 (𝑅𝑉 → (Rel (𝑅𝑟0) ↔ Rel ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))))
41, 3mpbiri 248 1 (𝑅𝑉 → Rel (𝑅𝑟0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2140  cun 3714   I cid 5174  dom cdm 5267  ran crn 5268  cres 5269  Rel wrel 5272  (class class class)co 6815  0cc0 10149  𝑟crelexp 13980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-mulcl 10211  ax-i2m1 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-n0 11506  df-relexp 13981
This theorem is referenced by:  relexprelg  13998  relexpaddg  14013
  Copyright terms: Public domain W3C validator