Theorem reldmpsr 19576

Description: The multivariate power series constructor is a proper binary operator. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmpsr	⊢ Rel dom mPwSer

Proof of Theorem reldmpsr

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑟 𝑦 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psr 19571	. 2 ⊢ mPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋{ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑⦌⦋((Base‘𝑟) ↑𝑚 𝑑) / 𝑏⦌({⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g‘𝑟) ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑏, 𝑔 ∈ 𝑏 ↦ (𝑘 ∈ 𝑑 ↦ (𝑟 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑑 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥)(.r‘𝑟)(𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑟⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑓 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑑 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑟)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝑑 × {(TopOpen‘𝑟)}))⟩}))
2	1	reldmmpt2 6918	1 ⊢ Rel dom mPwSer

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  ⦋csb 3682   ∪ cun 3721  {csn 4316  {ctp 4320  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247  ^◡ccnv 5248  dom cdm 5249   ↾ cres 5251   “ cima 5252  Rel wrel 5254  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795   ∘_𝑓 cof 7042   ∘_𝑟 cofr 7043   ↑_𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109   ≤ cle 10277   − cmin 10468  ℕcn 11222  ℕ₀cn0 11494  ndxcnx 16061  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  ._rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·_𝑠 cvsca 16153  TopSetcts 16155  TopOpenctopn 16290  ∏_tcpt 16307   Σ_g cgsu 16309   mPwSer cmps 19566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-br 4787  df-opab 4847  df-xp 5255  df-rel 5256  df-dm 5259  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-psr 19571

This theorem is referenced by:  psrbas  19593  psrelbas  19594  psrplusg  19596  psraddcl  19598  psrmulr  19599  psrmulcllem  19602  psrvscafval  19605  psrvscacl  19608  resspsrbas  19630  resspsradd  19631  resspsrmul  19632  mplval  19643  opsrle  19690  opsrbaslem  19692  opsrbaslemOLD  19693  psrbaspropd  19820  psropprmul  19823