Theorem reldmopsr 19687

Description: Lemma for ordered power series. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmopsr	⊢ Rel dom ordPwSer

Proof of Theorem reldmopsr

Dummy variables 𝑟 𝑖 𝑝 𝑠 ℎ 𝑑 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opsr 19574	. 2 ⊢ ordPwSer = (𝑖 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (𝑟 ∈ 𝒫 (𝑖 × 𝑖) ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑠) / 𝑝⦌(𝑝 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (Base‘𝑝) ∧ ([{ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} / 𝑑]∃𝑧 ∈ 𝑑 ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑠)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑑 (𝑤(𝑟 <bag 𝑖)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)))
2	1	reldmmpt2 6917	1 ⊢ Rel dom ordPwSer

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 826   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  ∃wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349  [wsbc 3585  ⦋csb 3680   ⊆ wss 3721  𝒫 cpw 4295  {cpr 4316  ⟨cop 4320   class class class wbr 4784  {copab 4844   ↦ cmpt 4861   × cxp 5247  ^◡ccnv 5248  dom cdm 5249   “ cima 5252  Rel wrel 5254  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↑_𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108  ℕcn 11221  ℕ₀cn0 11493  ndxcnx 16060   sSet csts 16061  Basecbs 16063  lecple 16155  ltcplt 17148   mPwSer cmps 19565   <_bag cltb 19568   ordPwSer copws 19569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-rab 3069  df-v 3351  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-br 4785  df-opab 4845  df-xp 5255  df-rel 5256  df-dm 5259  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-opsr 19574

This theorem is referenced by:  opsrle  19689  opsrbaslem  19691  opsrbaslemOLD  19692  psr1val  19770