MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reim0 14066
Description: The imaginary part of a real number is 0. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reim0 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem reim0
StepHypRef Expression
1 recn 10232 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 it0e0 11461 . . . . . 6 (i · 0) = 0
32oveq2i 6807 . . . . 5 (𝐴 + (i · 0)) = (𝐴 + 0)
4 addid1 10422 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
53, 4syl5eq 2817 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (i · 0)) = 𝐴)
61, 5syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (i · 0)) = 𝐴)
76fveq2d 6337 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 0))) = (ℑ‘𝐴))
8 0re 10246 . . 3 0 ∈ ℝ
9 crim 14063 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 0))) = 0)
108, 9mpan2 671 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 0))) = 0)
117, 10eqtr3d 2807 1 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  ici 10144   + caddc 10145   · cmul 10147  cim 14046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-2 11285  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049
This theorem is referenced by:  reim0b  14067  rereb  14068  remul2  14078  immul2  14085  im0  14101  im1  14103  reim0d  14173  sqrtneglem  14215  rlimrecl  14519  recld2  22837  relogrn  24529  logrnaddcl  24542
  Copyright terms: Public domain W3C validator