Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reheibor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reheibor 33768
Description: Heine-Borel theorem for real numbers. A subset of is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reheibor.2 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
reheibor.3 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
reheibor.4 𝑈 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
reheibor (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem reheibor
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df1o2 7617 . . . 4 1𝑜 = {∅}
2 snfi 8079 . . . 4 {∅} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2726 . . 3 1𝑜 ∈ Fin
4 imassrn 5512 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
5 0ex 4823 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
6 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
7 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))
86, 7ismrer1 33767 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅})))
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
101fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (ℝn‘1𝑜) = (ℝn‘{∅})
1110oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1𝑜)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘{∅}))
129, 11eleqtrri 2729 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1𝑜))
136rexmet 22641 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
14 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑𝑚 1𝑜) = (ℝ ↑𝑚 1𝑜)
1514rrnmet 33758 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 ∈ Fin → (ℝn‘1𝑜) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 1𝑜)))
16 metxmet 22186 . . . . . . . . . 10 ((ℝn‘1𝑜) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 1𝑜)) → (ℝn‘1𝑜) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 1𝑜)))
173, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . 9 (ℝn‘1𝑜) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 1𝑜))
18 isismty 33730 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1𝑜) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 1𝑜))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1𝑜)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 1𝑜) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1𝑜)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))))
1913, 17, 18mp2an 708 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1𝑜)) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 1𝑜) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1𝑜)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧))))
2012, 19mpbi 220 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 1𝑜) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑧) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑦)(ℝn‘1𝑜)((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥}))‘𝑧)))
2120simpli 473 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 1𝑜)
22 f1of 6175 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ–1-1-onto→(ℝ ↑𝑚 1𝑜) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑𝑚 1𝑜))
23 frn 6091 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})):ℝ⟶(ℝ ↑𝑚 1𝑜) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑𝑚 1𝑜))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ⊆ (ℝ ↑𝑚 1𝑜)
254, 24sstri 3645 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑𝑚 1𝑜)
2625a1i 11 . . 3 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑𝑚 1𝑜))
27 eqid 2651 . . . 4 ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) = ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
28 eqid 2651 . . . 4 (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
29 eqid 2651 . . . 4 (MetOpen‘(ℝn‘1𝑜)) = (MetOpen‘(ℝn‘1𝑜))
3014, 27, 28, 29rrnheibor 33766 . . 3 ((1𝑜 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑𝑚 1𝑜)) → ((MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1𝑜))) ∧ ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
313, 26, 30sylancr 696 . 2 (𝑌 ⊆ ℝ → ((MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1𝑜))) ∧ ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
32 reheibor.2 . . . . . . 7 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
33 cnxmet 22623 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℝ)
35 ax-resscn 10031 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3634, 35syl6ss 3648 . . . . . . . 8 (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑌 ⊆ ℂ)
37 xmetres2 22213 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
3833, 36, 37sylancr 696 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
3932, 38syl5eqel 2734 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌))
40 xmetres2 22213 . . . . . . 7 (((ℝn‘1𝑜) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 1𝑜)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ⊆ (ℝ ↑𝑚 1𝑜)) → ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
4117, 26, 40sylancr 696 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℝ → ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))
42 reheibor.3 . . . . . . 7 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
4342, 28ismtyhmeo 33734 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
4439, 41, 43syl2anc 694 . . . . 5 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 Ismty ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ⊆ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
4513a1i 11 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
4617a1i 11 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → (ℝn‘1𝑜) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 1𝑜)))
4712a1i 11 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1𝑜)))
48 eqid 2651 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)
49 eqid 2651 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
5048, 49, 27ismtyres 33737 . . . . . . 7 (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1𝑜) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 1𝑜))) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1𝑜)) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
5145, 46, 47, 34, 50syl22anc 1367 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
52 xpss12 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ⊆ ℝ ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
5352anidms 678 . . . . . . . . 9 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (ℝ × ℝ))
5453resabs1d 5463 . . . . . . . 8 (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
5554, 32syl6eqr 2703 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = 𝑀)
5655oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑌 ⊆ ℝ → ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) Ismty ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) = (𝑀 Ismty ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
5751, 56eleqtrd 2732 . . . . 5 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
5844, 57sseldd 3637 . . . 4 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))))
59 hmphi 21628 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑇Homeo(MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
6058, 59syl 17 . . 3 (𝑌 ⊆ ℝ → 𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
61 cmphmph 21639 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp → (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
62 hmphsym 21633 . . . . 5 (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇)
63 cmphmph 21639 . . . . 5 ((MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ≃ 𝑇 → ((MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
6462, 63syl 17 . . . 4 (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → ((MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp → 𝑇 ∈ Comp))
6561, 64impbid 202 . . 3 (𝑇 ≃ (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
6660, 65syl 17 . 2 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (MetOpen‘((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))) ∈ Comp))
67 reheibor.4 . . . . . . . 8 𝑈 = (topGen‘ran (,))
68 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
696, 68tgioo 22646 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7067, 69eqtri 2673 . . . . . . 7 𝑈 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7170, 29ismtyhmeo 33734 . . . . . 6 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (ℝn‘1𝑜) ∈ (∞Met‘(ℝ ↑𝑚 1𝑜))) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1𝑜)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1𝑜))))
7213, 17, 71mp2an 708 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Ismty (ℝn‘1𝑜)) ⊆ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1𝑜)))
7372, 12sselii 3633 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1𝑜)))
74 retopon 22614 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
7567, 74eqeltri 2726 . . . . . 6 𝑈 ∈ (TopOn‘ℝ)
7675toponunii 20769 . . . . 5 ℝ = 𝑈
7776hmeocld 21618 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ∈ (𝑈Homeo(MetOpen‘(ℝn‘1𝑜))) ∧ 𝑌 ⊆ ℝ) → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1𝑜)))))
7873, 34, 77sylancr 696 . . 3 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1𝑜)))))
79 ismtybnd 33736 . . . 4 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (∞Met‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) ↾ 𝑌) ∈ (𝑀 Ismty ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))) → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
8039, 41, 57, 79syl3anc 1366 . . 3 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌) ↔ ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))))
8178, 80anbi12d 747 . 2 (𝑌 ⊆ ℝ → ((𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)) ↔ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(ℝn‘1𝑜))) ∧ ((ℝn‘1𝑜) ↾ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌) × ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌))) ∈ (Bnd‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ ({∅} × {𝑥})) “ 𝑌)))))
8231, 66, 813bitr4d 300 1 (𝑌 ⊆ ℝ → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  ccom 5147  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  cmin 10304  (,)cioo 12213  abscabs 14018  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  MetOpencmopn 19784  TopOnctopon 20763  Clsdccld 20868  Compccmp 21237  Homeochmeo 21604  chmph 21605  Bndcbnd 33696   Ismty cismty 33727  ncrrn 33754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-gz 15681  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-prds 16155  df-pws 16157  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-lm 21081  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-hmeo 21606  df-hmph 21607  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-totbnd 33697  df-bnd 33708  df-ismty 33728  df-rrn 33755
This theorem is referenced by:  icccmpALT  33770
  Copyright terms: Public domain W3C validator