MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reflcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reflcl 12804
Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
reflcl (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reflcl
StepHypRef Expression
1 flcl 12803 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
21zred 11683 1 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2144  cfv 6031  cr 10136  cfl 12798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fl 12800
This theorem is referenced by:  fllep1  12809  fraclt1  12810  fracle1  12811  fracge0  12812  fllt  12814  flflp1  12815  flid  12816  flltnz  12819  flval3  12823  refldivcl  12831  fladdz  12833  flzadd  12834  flmulnn0  12835  flltdivnn0lt  12841  ceige  12851  ceim1l  12853  flleceil  12859  fleqceilz  12860  intfracq  12865  fldiv  12866  uzsup  12869  modvalr  12878  modfrac  12890  flmod  12891  intfrac  12892  modmulnn  12895  modcyc  12912  modadd1  12914  moddi  12945  modirr  12948  digit2  13203  digit1  13204  facavg  13291  rddif  14287  absrdbnd  14288  rexuzre  14299  o1fsum  14751  flo1  14792  isprm7  15626  opnmbllem  23588  mbfi1fseqlem1  23701  mbfi1fseqlem3  23703  mbfi1fseqlem4  23704  mbfi1fseqlem5  23705  mbfi1fseqlem6  23706  dvfsumlem1  24008  dvfsumlem2  24009  dvfsumlem3  24010  dvfsumlem4  24011  dvfsum2  24016  harmonicbnd4  24957  chtfl  25095  chpfl  25096  ppieq0  25122  ppiltx  25123  ppiub  25149  chpeq0  25153  chtub  25157  logfac2  25162  chpub  25165  logfacubnd  25166  logfaclbnd  25167  lgsquadlem1  25325  chtppilimlem1  25382  vmadivsum  25391  dchrisumlema  25397  dchrisumlem1  25398  dchrisumlem3  25400  dchrmusum2  25403  dchrisum0lem1b  25424  dchrisum0lem1  25425  dchrisum0lem2a  25426  dchrisum0lem3  25428  mudivsum  25439  mulogsumlem  25440  selberglem2  25455  pntrlog2bndlem6  25492  pntpbnd2  25496  pntlemg  25507  pntlemr  25511  pntlemj  25512  pntlemf  25514  pntlemk  25515  minvecolem4  28070  dnicld1  32793  dnibndlem2  32800  dnibndlem3  32801  dnibndlem4  32802  dnibndlem5  32803  dnibndlem7  32805  dnibndlem8  32806  dnibndlem9  32807  dnibndlem10  32808  dnibndlem11  32809  dnibndlem13  32811  dnibnd  32812  knoppcnlem4  32817  ltflcei  33723  leceifl  33724  opnmbllem0  33771  itg2addnclem2  33787  itg2addnclem3  33788  hashnzfzclim  39040  lefldiveq  40017  fourierdlem4  40839  fourierdlem26  40861  fourierdlem47  40881  fourierdlem65  40899  flsubz  42830  dignn0flhalflem2  42928
  Copyright terms: Public domain W3C validator