MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reexpcld 13239
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
reexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
reexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcld
StepHypRef Expression
1 reexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 reexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 reexpcl 13091 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6814  cr 10147  0cn0 11504  cexp 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-seq 13016  df-exp 13075
This theorem is referenced by:  faclbnd  13291  facubnd  13301  explecnv  14816  geomulcvg  14826  cvgrat  14834  efcllem  15027  eftlub  15058  bitsfzolem  15378  bitsfzo  15379  vfermltlALT  15729  pclem  15765  dvdsprmpweqle  15812  taylthlem2  24347  radcnvlem1  24386  abelthlem7  24411  advlogexp  24621  leibpi  24889  ftalem1  25019  ftalem2  25020  ftalem5  25023  vma1  25112  logexprlim  25170  bposlem6  25234  gausslemma2dlem6  25317  rplogsumlem2  25394  rpvmasumlem  25396  dchrisum0flblem1  25417  pntlem3  25518  ostth2lem1  25527  ostth2lem2  25543  ostth2lem3  25544  ostth3  25547  numclwwlk5  27577  nexple  30401  eulerpartlemgc  30754  signsply0  30958  knoppcnlem2  32811  knoppcnlem4  32813  knoppcnlem6  32815  knoppcnlem10  32819  knoppndvlem11  32840  knoppndvlem14  32843  knoppndvlem15  32844  knoppndvlem17  32846  knoppndvlem18  32847  knoppndvlem21  32850  geomcau  33886  bfplem1  33952  expmordi  38032  jm2.17a  38047  jm2.17b  38048  jm2.17c  38049  jm3.1lem1  38104  jm3.1lem2  38105  xralrple4  40105  stoweidlem1  40739  stoweidlem3  40741  stoweidlem7  40745  stoweidlem12  40750  stoweidlem19  40757  stoweidlem24  40762  stoweidlem25  40763  stoweidlem40  40778  stoweidlem42  40780  stoweidlem45  40783  wallispilem1  40803  stirlinglem10  40821  stirlinglem11  40822  stirlingr  40828  etransclem23  40995  etransclem48  41020  sge0ad2en  41169  ovnsubaddlem1  41308  hoiqssbllem2  41361  lighneallem2  42051  fllog2  42890  nnolog2flm1  42912  dig2nn1st  42927  dignn0flhalflem2  42938  nn0sumshdiglemA  42941
  Copyright terms: Public domain W3C validator