MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reexpcl 13063
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
reexpcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem reexpcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 10177 . 2 ℝ ⊆ ℂ
2 remulcl 10205 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3 1re 10223 . 2 1 ∈ ℝ
41, 2, 3expcllem 13057 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2131  (class class class)co 6805  cr 10119  0cn0 11476  cexp 13046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-seq 12988  df-exp 13047
This theorem is referenced by:  expgt1  13084  leexp2r  13104  leexp1a  13105  resqcl  13117  bernneq  13176  bernneq3  13178  expnbnd  13179  expnlbnd  13180  expmulnbnd  13182  digit2  13183  digit1  13184  reexpcld  13211  faclbnd  13263  faclbnd2  13264  faclbnd3  13265  faclbnd4lem1  13266  faclbnd5  13271  faclbnd6  13272  geomulcvg  14798  reeftcl  14996  ege2le3  15011  eftlub  15030  eflegeo  15042  resin4p  15059  recos4p  15060  ef01bndlem  15105  sin01bnd  15106  cos01bnd  15107  sin01gt0  15111  rpnnen2lem2  15135  rpnnen2lem4  15137  rpnnen2lem11  15144  powm2modprm  15702  prmreclem6  15819  mbfi1fseqlem6  23678  aaliou3lem8  24291  radcnvlem1  24358  abelthlem5  24380  abelthlem7  24383  tangtx  24448  advlogexp  24592  logtayllem  24596  leibpilem2  24859  leibpi  24860  leibpisum  24861  basellem3  25000  chtublem  25127  logexprlim  25141  dchrisum0flblem1  25388  pntlem3  25489  ostth2lem1  25498  ostth2lem3  25515  ostth3  25518  hgt750lem  31030  tgoldbachgnn  31038  subfacval2  31468  nn0prpw  32616  mblfinlem1  33751  mblfinlem2  33752  bfplem1  33926  rpexpmord  38007  tgoldbach  42207  tgoldbachOLD  42214  dignn0fr  42897  digexp  42903  dig2bits  42910
  Copyright terms: Public domain W3C validator