MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reeff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reeff1o 24182
Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1o (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reeff1 14831 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2 f1f 6088 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3 ffn 6032 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5 frn 6040 . . . . 5 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
61, 2, 5mp2b 10 . . . 4 ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7 elrp 11819 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
8 reclt1 10903 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
97, 8sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
10 rpre 11824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
11 rpne0 11833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ≠ 0)
1210, 11rereccld 10837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
13 reeff1olem 24181 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
1412, 13sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
15 eqcom 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
16 rpcnne0 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
17 recn 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18 efcl 14794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
20 efne0 14808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
2219, 21jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0))
23 rec11r 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
2416, 22, 23syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
25 efcan 14807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℂ → ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)) = 1)
2625eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)))
27 negcl 10266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℂ → -𝑦 ∈ ℂ)
28 efcl 14794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
30 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
31 divmul2 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3230, 31mp3an1 1409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3329, 18, 20, 32syl12anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3426, 33mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
3517, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
3635eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3824, 37bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3915, 38syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4039biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4140reximdva 3014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4314, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
44 renegcl 10329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
45 infm3lem 10966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
46 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘-𝑦))
4746eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4844, 45, 47rexxfr 4879 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
4943, 48sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5049ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < (1 / 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
519, 50sylbid 230 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
5251imp 445 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
53 ef0 14802 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
5453eqeq2i 2632 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (exp‘0) ↔ 𝑧 = 1)
55 0re 10025 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
56 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = (exp‘0))
5756eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘0) = 𝑧))
5857rspcev 3304 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘0) = 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5955, 58mpan 705 . . . . . . . . . . 11 ((exp‘0) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6059eqcoms 2628 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (exp‘0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6154, 60sylbir 225 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6261adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
63 reeff1olem 24181 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6410, 63sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
65 1re 10024 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
66 lttri4 10107 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
6710, 65, 66sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
6852, 62, 64, 67mpjao3dan 1393 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
69 fvres 6194 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
7069eqeq1d 2622 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
7170rexbiia 3036 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
7268, 71sylibr 224 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
73 fvelrnb 6230 . . . . . . 7 ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
744, 73ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
7572, 74sylibr 224 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
7675ssriv 3599 . . . 4 + ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
776, 76eqssi 3611 . . 3 ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
78 df-fo 5882 . . 3 ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
794, 77, 78mpbir2an 954 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
80 df-f1o 5883 . 2 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
811, 79, 80mpbir2an 954 1 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  wss 3567   class class class wbr 4644  ran crn 5105  cres 5106   Fn wfn 5871  wf 5872  1-1wf1 5873  ontowfo 5874  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926   < clt 10059  -cneg 10252   / cdiv 10669  +crp 11817  expce 14773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612
This theorem is referenced by:  reefiso  24183  efcvx  24184  reefgim  24185  eff1olem  24275  dfrelog  24293  relogf1o  24294  dvrelog  24364
  Copyright terms: Public domain W3C validator