Theorem redwlklem 26799

Description: Lemma for redwlk 26800. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
redwlklem	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉)

Proof of Theorem redwlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
2		fzossfz 12702	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
3		fssres 6231	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉)
4	1, 2, 3	sylancl 697	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉)
5	4	ex 449	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉))
6		lencl 13530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 11692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
8		fzoval 12685	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
10	9	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
11		wrdred1hash 13557	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
12		oveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
13	12	eqeq2d 2770	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1) → ((0..^(♯‘𝐹)) = (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) ↔ (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1))))
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((0..^(♯‘𝐹)) = (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))) ↔ (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1))))
15	10, 14	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))))
16	15	feq2d 6192	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑉 ↔ (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
17	5, 16	sylibd 229	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
18	17	3impia 1110	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(♯‘𝐹))):(0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   ≤ cle 10287   − cmin 10478  ℤcz 11589  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  ♯chash 13331  Word cword 13497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505

This theorem is referenced by:  redwlk  26800