Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  redvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem redvr 20180
 Description: The division operation of the field of reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
redvr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem redvr
StepHypRef Expression
1 resubdrg 20171 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
21simpli 470 . . . 4 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
32a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld))
4 simp1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 3simpc 1146 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
61simpri 473 . . . . 5 fld ∈ DivRing
7 rebase 20169 . . . . . 6 ℝ = (Base‘ℝfld)
8 eqid 2771 . . . . . 6 (Unit‘ℝfld) = (Unit‘ℝfld)
9 re0g 20175 . . . . . 6 0 = (0g‘ℝfld)
107, 8, 9drngunit 18962 . . . . 5 (ℝfld ∈ DivRing → (𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
116, 10ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
125, 11sylibr 224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld))
13 df-refld 20168 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
14 cnflddiv 19991 . . . 4 / = (/r‘ℂfld)
15 eqid 2771 . . . 4 (/r‘ℝfld) = (/r‘ℝfld)
1613, 14, 8, 15subrgdv 19007 . . 3 ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵))
173, 4, 12, 16syl3anc 1476 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵))
1817eqcomd 2777 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵) = (𝐴 / 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℝcr 10141  0cc0 10142   / cdiv 10890  Unitcui 18847  /rcdvr 18890  DivRingcdr 18957  SubRingcsubrg 18986  ℂfldccnfld 19961  ℝfldcrefld 20167 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-addf 10221  ax-mulf 10222 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-cnfld 19962  df-refld 20168 This theorem is referenced by:  qqhre  30404
 Copyright terms: Public domain W3C validator