MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recosf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recosf1o 24326
Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
recosf1o (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)

Proof of Theorem recosf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cosf 14899 . . . . . 6 cos:ℂ⟶ℂ
2 ffn 6083 . . . . . 6 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 cos Fn ℂ
4 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 pire 24255 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
6 iccssre 12293 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
74, 5, 6mp2an 708 . . . . . 6 (0[,]π) ⊆ ℝ
8 ax-resscn 10031 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
97, 8sstri 3645 . . . . 5 (0[,]π) ⊆ ℂ
10 fnssres 6042 . . . . 5 ((cos Fn ℂ ∧ (0[,]π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π))
113, 9, 10mp2an 708 . . . 4 (cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π)
12 fvres 6245 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
137sseli 3632 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 cosbnd2 14957 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1612, 15eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1))
1716rgen 2951 . . . 4 𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)
18 ffnfv 6428 . . . 4 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)) Fn (0[,]π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) ∈ (-1[,]1)))
1911, 17, 18mpbir2an 975 . . 3 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1)
20 fvres 6245 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
2112, 20eqeqan12d 2667 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
22 cos11 24324 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
2322biimprd 238 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2421, 23sylbid 230 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2524rgen2a 3006 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
26 dff13 6552 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]π)∀𝑦 ∈ (0[,]π)(((cos ↾ (0[,]π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2719, 25, 26mpbir2an 975 . 2 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1)
284a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 ∈ ℝ)
295a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → π ∈ ℝ)
30 neg1rr 11163 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
31 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3230, 31elicc2i 12277 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
3332simp1bi 1096 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
34 pipos 24257 . . . . . . 7 0 < π
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 0 < π)
369a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
37 coscn 24244 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
397sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
4039recoscld 14918 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
4140adantl 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42 cospi 24269 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
4332simp2bi 1097 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → -1 ≤ 𝑥)
4442, 43syl5eqbr 4720 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → (cos‘π) ≤ 𝑥)
4532simp3bi 1098 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ 1)
46 cos0 14924 . . . . . . . 8 (cos‘0) = 1
4745, 46syl6breqr 4727 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → 𝑥 ≤ (cos‘0))
4844, 47jca 553 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ((cos‘π) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (cos‘0)))
4928, 29, 33, 35, 36, 38, 41, 48ivthle2 23272 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
50 eqcom 2658 . . . . . . 7 (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥)
5120eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
5250, 51syl5bb 272 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
5352rexbiia 3069 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0[,]π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
5449, 53sylibr 224 . . . 4 (𝑥 ∈ (-1[,]1) → ∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦))
5554rgen 2951 . . 3 𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)
56 dffo3 6414 . . 3 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)⟶(-1[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1[,]1)∃𝑦 ∈ (0[,]π)𝑥 = ((cos ↾ (0[,]π))‘𝑦)))
5719, 55, 56mpbir2an 975 . 2 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)
58 df-f1o 5933 . 2 ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ ((cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1→(-1[,]1) ∧ (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–onto→(-1[,]1)))
5927, 57, 58mpbir2an 975 1 (cos ↾ (0[,]π)):(0[,]π)–1-1-onto→(-1[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685  cres 5145   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305  [,]cicc 12216  cosccos 14839  πcpi 14841  cnccncf 22726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  resinf1o  24327
  Copyright terms: Public domain W3C validator