MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconnlem2 22677
Description: Lemma for reconn 22678. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reconnlem2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
reconnlem2.2 (𝜑𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.3 (𝜑𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
reconnlem2.5 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈𝐴))
reconnlem2.6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑉𝐴))
reconnlem2.7 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
reconnlem2.8 (𝜑𝐵𝐶)
reconnlem2.9 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
reconnlem2 (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reconnlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem2.9 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )
2 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
3 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈𝐴) ⊆ 𝐴
4 reconnlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈𝐴))
53, 4sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝐴)
6 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉𝐴) ⊆ 𝐴
7 reconnlem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ (𝑉𝐴))
86, 7sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝐴)
9 reconnlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
10 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥[,]𝑦) = (𝐵[,]𝑦))
1110sseq1d 3665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
12 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝐶 → (𝐵[,]𝑦) = (𝐵[,]𝐶))
1312sseq1d 3665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐶 → ((𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴))
1411, 13rspc2va 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
155, 8, 9, 14syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
16 reconnlem2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1715, 16sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
182, 17syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
19 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈𝐴) ⊆ 𝑈
2019, 4sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵𝑈)
2116, 5sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2221rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2316, 8sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2423rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
25 reconnlem2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵𝐶)
26 lbicc2 12326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
2722, 24, 25, 26syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
2820, 27elind 3831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
29 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
312sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶))
32 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑤𝑤𝐶)))
3321, 23, 32syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑤𝑤𝐶)))
34 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑤𝑤𝐶) → 𝑤𝐶)
3533, 34syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝑤𝐶))
3631, 35syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤𝐶))
3736ralrimiv 2994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶)
38 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝐶 → (𝑤𝑧𝑤𝐶))
3938ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐶 → (∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶))
4039rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
4123, 37, 40syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
42 suprcl 11021 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4318, 30, 41, 42syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
441, 43syl5eqel 2734 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
45 rphalfcl 11896 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
46 ltaddrp 11905 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
4744, 45, 46syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
4844adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
4945rpred 11910 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
50 readdcl 10057 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
5144, 49, 50syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
5248, 51ltnled 10222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ↔ ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆))
5347, 52mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
5418ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
5530ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
5641ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
57 inss1 3866 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ⊆ 𝑈
58 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
5957, 58sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑈)
6051adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
6121ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6244ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ∈ ℝ)
63 suprub 11022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) ∧ 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
6418, 30, 41, 28, 63syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
6564, 1syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵𝑆)
6665ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵𝑆)
6747adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
6862, 60, 67ltled 10223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
6961, 62, 60, 66, 68letrd 10232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
7023ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
71 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ⊆ (-∞(,)𝐶)
7271, 58sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶))
73 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (-∞ < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶))
7473simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
7660, 70, 75ltled 10223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)
77 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
7861, 70, 77syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
7960, 69, 76, 78mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
8059, 79elind 3831 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
81 suprub 11022 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
8254, 55, 56, 80, 81syl31anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
8382, 1syl6breqr 4727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
8453, 83mtand 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
85 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
8685remetdval 22639 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
8751, 48, 86syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
8848recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
8949adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
9089recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
9188, 90pncan2d 10432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆) = (𝑟 / 2))
9291fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
9345adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
94 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
95 rpge0 11883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑟 / 2))
9694, 95absidd 14205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
9793, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
9887, 92, 973eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (𝑟 / 2))
99 rphalflt 11898 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
10099adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
10198, 100eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟)
10285rexmet 22641 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
103102a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
104 rpxr 11878 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
105104adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
106 elbl3 22244 . . . . . . . . . 10 (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
107103, 105, 48, 51, 106syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
108101, 107mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
109 ssel 3630 . . . . . . . 8 ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
110108, 109syl5com 31 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
11184, 110mtod 189 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
112111nrexdv 3030 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
11344adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ ℝ)
114 mnflt 11995 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ ℝ → -∞ < 𝑆)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → -∞ < 𝑆)
116 suprleub 11027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶))
11718, 30, 41, 23, 116syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝐶))
11837, 117mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)
1191, 118syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆𝐶)
12044, 23leloed 10218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐶 ↔ (𝑆 < 𝐶𝑆 = 𝐶)))
121119, 120mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 < 𝐶𝑆 = 𝐶))
122121ord 391 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶𝑆 = 𝐶))
123 elndif 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐴 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
1248, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
125 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉𝐴) ⊆ 𝑉
126125, 7sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝑉)
127 elin 3829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ (𝑈𝑉) ↔ (𝐶𝑈𝐶𝑉))
128 reconnlem2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
129128sseld 3635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑈𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
130127, 129syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶𝑈𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
131126, 130mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶𝑈𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
132124, 131mtod 189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝐶𝑈)
133 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 = 𝐶 → (𝑆𝑈𝐶𝑈))
134133notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝐶 → (¬ 𝑆𝑈 ↔ ¬ 𝐶𝑈))
135132, 134syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 = 𝐶 → ¬ 𝑆𝑈))
136122, 135syld 47 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → ¬ 𝑆𝑈))
137136con4d 114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑈𝑆 < 𝐶))
138137imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → 𝑆 < 𝐶)
139 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
140 elioo2 12254 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆𝑆 < 𝐶)))
141139, 24, 140sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆𝑆 < 𝐶)))
142141adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆𝑈) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆𝑆 < 𝐶)))
143113, 115, 138, 142mpbir3and 1264 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))
144143ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
145144ancld 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑈 → (𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))))
146 elin 3829 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ↔ (𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
147 reconnlem2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
148 retop 22612 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
149 iooretop 22616 . . . . . . . . 9 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
150 inopn 20752 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
151148, 149, 150mp3an13 1455 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
152 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
15385, 152tgioo 22646 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
154153mopni2 22345 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
155102, 154mp3an1 1451 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
156155ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
157147, 151, 1563syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
158146, 157syl5bir 233 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝑈𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
159145, 158syld 47 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑈 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
160112, 159mtod 189 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑈)
161 ltsubrp 11904 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆𝑟) < 𝑆)
16244, 161sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆𝑟) < 𝑆)
163 rpre 11877 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
164 resubcl 10383 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
16544, 163, 164syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
166165, 48ltnled 10222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆𝑟) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆𝑟)))
167162, 166mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆𝑟))
16885bl2ioo 22642 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
16944, 163, 168syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
170169sseq1d 3665 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 ↔ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉))
17115ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
1722, 171syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝐴)
173172sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤𝐴)
174 elndif 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐴 → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
176128ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑈𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
177 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝑈
178 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
179177, 178sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤𝑈)
180 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉)
18118ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
182 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
183181, 182sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ ℝ)
184183adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
185 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑆𝑟) < 𝑤)
18648ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 ∈ ℝ)
187 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
188187rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ)
189186, 188readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ)
190181adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
19130ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
19241ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
193 suprub 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
194190, 191, 192, 178, 193syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
195194, 1syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤𝑆)
196186, 187ltaddrpd 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑟))
197184, 186, 189, 195, 196lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))
198165ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
199 rexr 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆𝑟) ∈ ℝ → (𝑆𝑟) ∈ ℝ*)
200 rexr 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ*)
201 elioo2 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
202199, 200, 201syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
203198, 189, 202syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → (𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
204184, 185, 197, 203mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
205180, 204sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤𝑉)
206179, 205elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈𝑉))
207176, 206sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
208207expr 642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ((𝑆𝑟) < 𝑤𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
209175, 208mtod 189 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ (𝑆𝑟) < 𝑤)
210165ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
211183, 210lenltd 10221 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑤 ≤ (𝑆𝑟) ↔ ¬ (𝑆𝑟) < 𝑤))
212209, 211mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ (𝑆𝑟))
213212ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆𝑟))
21418ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
21530ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
21641ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧)
217165adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑆𝑟) ∈ ℝ)
218 suprleub 11027 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤𝑧) ∧ (𝑆𝑟) ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆𝑟)))
219214, 215, 216, 217, 218syl31anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆𝑟)))
220213, 219mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆𝑟))
2211, 220syl5eqbr 4720 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → 𝑆 ≤ (𝑆𝑟))
222221ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑆𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉𝑆 ≤ (𝑆𝑟)))
223170, 222sylbid 230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉𝑆 ≤ (𝑆𝑟)))
224167, 223mtod 189 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
225224nrexdv 3030 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
226 reconnlem2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
227153mopni2 22345 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
228102, 227mp3an1 1451 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
229228ex 449 . . . . . 6 (𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
230226, 229syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
231225, 230mtod 189 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑉)
232 ioran 510 . . . 4 (¬ (𝑆𝑈𝑆𝑉) ↔ (¬ 𝑆𝑈 ∧ ¬ 𝑆𝑉))
233160, 231, 232sylanbrc 699 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑆𝑈𝑆𝑉))
234 elun 3786 . . 3 (𝑆 ∈ (𝑈𝑉) ↔ (𝑆𝑈𝑆𝑉))
235233, 234sylnibr 318 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝑈𝑉))
236 elicc2 12276 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑆𝑆𝐶)))
23721, 23, 236syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑆𝑆𝐶)))
23844, 65, 119, 237mpbir3and 1264 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶))
23915, 238sseldd 3637 . . 3 (𝜑𝑆𝐴)
240 ssel 3630 . . 3 (𝐴 ⊆ (𝑈𝑉) → (𝑆𝐴𝑆 ∈ (𝑈𝑉)))
241239, 240syl5com 31 . 2 (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑈𝑉) → 𝑆 ∈ (𝑈𝑉)))
242235, 241mtod 189 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cr 9973   + caddc 9977  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  topGenctg 16145  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  Topctop 20746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798
This theorem is referenced by:  reconn  22678
  Copyright terms: Public domain W3C validator