MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconnlem1 22848
Description: Lemma for reconn 22850. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconnlem1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem reconnlem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 744 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
2 retopon 22786 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
32a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4 simplll 750 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 iooretop 22788 . . . . . . 7 (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,))
65a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,)))
7 iooretop 22788 . . . . . . 7 (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
87a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
9 simplrl 754 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋𝐴)
104, 9sseldd 3751 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ ℝ)
11 mnflt 12161 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → -∞ < 𝑋)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑋)
13 eldifn 3882 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑧𝐴)
1413adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝐴)
15 eleq1 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 𝑧 → (𝑋𝐴𝑧𝐴))
169, 15syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 = 𝑧𝑧𝐴))
1714, 16mtod 189 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑋 = 𝑧)
18 eldifi 3881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
1918adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
20 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌𝐴)
214, 20sseldd 3751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ ℝ)
22 elicc2 12442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑧𝑧𝑌)))
2310, 21, 22syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑧𝑧𝑌)))
2419, 23mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑧𝑧𝑌))
2524simp2d 1136 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋𝑧)
2624simp1d 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
2710, 26leloed 10381 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋𝑧 ↔ (𝑋 < 𝑧𝑋 = 𝑧)))
2825, 27mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 < 𝑧𝑋 = 𝑧))
2928ord 844 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑋 < 𝑧𝑋 = 𝑧))
3017, 29mt3d 142 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 < 𝑧)
31 mnfxr 10297 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
3226rexrd 10290 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
33 elioo2 12420 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋𝑋 < 𝑧)))
3431, 32, 33sylancr 567 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋𝑋 < 𝑧)))
3510, 12, 30, 34mpbir3and 1426 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧))
36 inelcm 4173 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ∧ 𝑋𝐴) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
3735, 9, 36syl2anc 565 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
38 eleq1 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧𝐴𝑌𝐴))
3920, 38syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 = 𝑌𝑧𝐴))
4014, 39mtod 189 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧 = 𝑌)
4124simp3d 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧𝑌)
4226, 21leloed 10381 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧𝑌 ↔ (𝑧 < 𝑌𝑧 = 𝑌)))
4341, 42mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑌𝑧 = 𝑌))
4443ord 844 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑧 < 𝑌𝑧 = 𝑌))
4540, 44mt3d 142 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < 𝑌)
46 ltpnf 12158 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 < +∞)
4721, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 < +∞)
48 pnfxr 10293 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
49 elioo2 12420 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌𝑌 < +∞)))
5032, 48, 49sylancl 566 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌𝑌 < +∞)))
5121, 45, 47, 50mpbir3and 1426 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞))
52 inelcm 4173 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ∧ 𝑌𝐴) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
5351, 20, 52syl2anc 565 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
54 inss1 3979 . . . . . . 7 (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞))
5532, 31jctil 503 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
5632, 48jctir 504 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*))
5726leidd 10795 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧𝑧)
58 ioodisj 12508 . . . . . . . 8 ((((-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧𝑧) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
5955, 56, 57, 58syl21anc 1474 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
60 sseq0 4117 . . . . . . 7 (((((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∧ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
6154, 59, 60sylancr 567 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
6231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
6348a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → +∞ ∈ ℝ*)
64 mnflt 12161 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
6526, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑧)
66 ltpnf 12158 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < +∞)
6726, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < +∞)
68 ioojoin 12509 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < +∞)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
6962, 32, 63, 65, 67, 68syl32anc 1483 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
70 unass 3919 . . . . . . . . . 10 (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞)))
71 un12 3920 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞))) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
7270, 71eqtri 2792 . . . . . . . . 9 (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
73 ioomax 12452 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
7469, 72, 733eqtr3g 2827 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) = ℝ)
754, 74sseqtr4d 3789 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
76 disjsn 4381 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝐴)
7714, 76sylibr 224 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅)
78 disjssun 4176 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
8075, 79mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
813, 4, 6, 8, 37, 53, 61, 80nconnsubb 21446 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
8281ex 397 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
831, 82mt2d 133 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴))
8483eq0rdv 4121 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
85 ssdif0 4087 . 2 ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
8684, 85sylibr 224 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  cdif 3718  cun 3719  cin 3720  wss 3721  c0 4061  {csn 4314   class class class wbr 4784  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  +∞cpnf 10272  -∞cmnf 10273  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  (,)cioo 12379  [,]cicc 12382  t crest 16288  topGenctg 16305  TopOnctopon 20934  Conncconn 21434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cld 21043  df-conn 21435
This theorem is referenced by:  reconn  22850
  Copyright terms: Public domain W3C validator