MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconn 22824
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem reconn
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 22822 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
21ralrimivva 3101 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
32ex 449 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
4 n0 4066 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
5 n0 4066 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
64, 5anbi12i 735 . . . . . . . 8 (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)))
7 eeanv 2319 . . . . . . . . 9 (∃𝑏𝑐(𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ↔ (∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)))
8 simplll 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
9 inss2 3969 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝐴) ⊆ 𝐴
10 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
119, 10sseldi 3734 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏𝐴)
128, 11sseldd 3737 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑏 ∈ ℝ)
13 inss2 3969 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐴) ⊆ 𝐴
14 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
1513, 14sseldi 3734 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐𝐴)
168, 15sseldd 3737 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → 𝑐 ∈ ℝ)
178adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝐴 ⊆ ℝ)
18 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
1918ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
20 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
2120ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
22 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2310adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
2414adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
25 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
26 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
27 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . 13 sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < ) = sup((𝑢 ∩ (𝑏[,]𝑐)), ℝ, < )
2817, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27reconnlem2 22823 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑏𝑐) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
298adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3020ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
3118ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)))
32 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
3314adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐 ∈ (𝑣𝐴))
3410adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑏 ∈ (𝑢𝐴))
35 incom 3940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
36 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
3735, 36syl5eqss 3782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → (𝑣𝑢) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
38 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑏)
39 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < ) = sup((𝑣 ∩ (𝑐[,]𝑏)), ℝ, < )
4029, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39reconnlem2 22823 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑣𝑢))
41 uncom 3892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝑢) = (𝑢𝑣)
4241sseq2i 3763 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ (𝑣𝑢) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4340, 42sylnib 317 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) ∧ 𝑐𝑏) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4412, 16, 28, 43lecasei 10327 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))
4544exp32 632 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
4645exlimdvv 2003 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (∃𝑏𝑐(𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
477, 46syl5bir 233 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((∃𝑏 𝑏 ∈ (𝑢𝐴) ∧ ∃𝑐 𝑐 ∈ (𝑣𝐴)) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
486, 47syl5bi 232 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅) → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
4948expd 451 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → ((𝑢𝐴) ≠ ∅ → ((𝑣𝐴) ≠ ∅ → ((𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣)))))
50493impd 1439 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣)))
5150ex 449 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝑢 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → (((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5251ralrimdvva 3104 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
53 retopon 22760 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
54 connsub 21418 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5553, 54mpan 708 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘ran (,))∀𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑢𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑢𝑣) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑢𝑣))))
5652, 55sylibrd 249 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn))
573, 56impbid 202 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wex 1845  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  cdif 3704  cun 3705  cin 3706  wss 3707  c0 4050   class class class wbr 4796  ran crn 5259  cfv 6041  (class class class)co 6805  supcsup 8503  cr 10119   < clt 10258  cle 10259  (,)cioo 12360  [,]cicc 12363  t crest 16275  topGenctg 16292  TopOnctopon 20909  Conncconn 21408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-rest 16277  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-cld 21017  df-conn 21409
This theorem is referenced by:  retopconn  22825  iccconn  22826  resconn  31527  ioosconn  31528  iccllysconn  31531  ivthALT  32628
  Copyright terms: Public domain W3C validator