Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recnz 11449
 Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recnz ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem recnz
StepHypRef Expression
1 recgt1i 10917 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1))
21simprd 479 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < 1)
31simpld 475 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
4 zgt0ge1 11428 . . . 4 ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
53, 4syl5ibcom 235 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → 1 ≤ (1 / 𝐴)))
6 1re 10036 . . . 4 1 ∈ ℝ
7 0lt1 10547 . . . . . . . 8 0 < 1
8 0re 10037 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
9 lttr 10111 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
108, 6, 9mp3an12 1413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
117, 10mpani 712 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
1211imdistani 726 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
13 gt0ne0 10490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
15 rereccl 10740 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1614, 15syldan 487 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
17 lenlt 10113 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
186, 16, 17sylancr 695 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
195, 18sylibd 229 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → ¬ (1 / 𝐴) < 1))
202, 19mt2d 131 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  ℝcr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   < clt 10071   ≤ cle 10072   / cdiv 10681  ℤcz 11374 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375 This theorem is referenced by:  halfnz  11452  facndiv  13070  dvdsprmpweqle  15584
 Copyright terms: Public domain W3C validator