Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  recnnltrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recnnltrp 40103
 Description: 𝑁 is a natural number large enough that its reciprocal is smaller than the given positive 𝐸. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
recnnltrp.1 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
Assertion
Ref Expression
recnnltrp (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))

Proof of Theorem recnnltrp
StepHypRef Expression
1 recnnltrp.1 . . 3 𝑁 = ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1)
2 rpreccl 12059 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ+)
32rpred 12074 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) ∈ ℝ)
42rpge0d 12078 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐸))
5 flge0nn0 12828 . . . . 5 (((1 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐸)) → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
63, 4, 5syl2anc 565 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0)
7 nn0p1nn 11533 . . . 4 ((⌊‘(1 / 𝐸)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1) ∈ ℕ)
91, 8syl5eqel 2853 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ)
10 flltp1 12808 . . . . . 6 ((1 / 𝐸) ∈ ℝ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < ((⌊‘(1 / 𝐸)) + 1))
1211, 1syl6breqr 4826 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐸) < 𝑁)
139nnrpd 12072 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+)
142, 13ltrecd 12092 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐸) < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸))))
1512, 14mpbid 222 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < (1 / (1 / 𝐸)))
16 rpcn 12043 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℂ)
17 rpne0 12050 . . . 4 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ≠ 0)
1816, 17recrecd 10999 . . 3 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐸)) = 𝐸)
1915, 18breqtrd 4810 . 2 (𝐸 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑁) < 𝐸)
209, 19jca 495 1 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑁) < 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   < clt 10275   ≤ cle 10276   / cdiv 10885  ℕcn 11221  ℕ0cn0 11493  ℝ+crp 12034  ⌊cfl 12798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fl 12800 This theorem is referenced by:  vonioolem1  41408
 Copyright terms: Public domain W3C validator