Theorem recld 14133

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 14049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  ℂcc 10126  ℝcr 10127  ℜcre 14036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-2 11271  df-cj 14038  df-re 14039

This theorem is referenced by:  abstri  14269  sqreulem  14298  eqsqrt2d  14307  rlimrege0  14509  recoscl  15070  cos01bnd  15115  cnsubrg  20008  mbfeqa  23609  mbfss  23612  mbfmulc2re  23614  mbfadd  23627  mbfmulc2  23629  mbflim  23634  mbfmul  23692  iblcn  23764  itgcnval  23765  itgre  23766  itgim  23767  iblneg  23768  itgneg  23769  iblss  23770  itgeqa  23779  iblconst  23783  ibladd  23786  itgadd  23790  iblabs  23794  iblabsr  23795  iblmulc2  23796  itgmulc2  23799  itgabs  23800  itgsplit  23801  dvlip  23955  tanregt0  24484  efif1olem4  24490  eff1olem  24493  lognegb  24535  relog  24542  efiarg  24552  cosarg0d  24554  argregt0  24555  argrege0  24556  abslogle  24563  logcnlem4  24590  cxpsqrtlem  24647  cxpcn3lem  24687  abscxpbnd  24693  cosangneg2d  24736  angrtmuld  24737  lawcoslem1  24744  isosctrlem1  24747  asinlem3a  24796  asinlem3  24797  asinneg  24812  asinsinlem  24817  asinsin  24818  acosbnd  24826  atanlogaddlem  24839  atanlogadd  24840  atanlogsublem  24841  atanlogsub  24842  atantan  24849  o1cxp  24900  cxploglim2  24904  zetacvg  24940  lgamgulmlem2  24955  sqsscirc2  30264  ibladdnc  33780  itgaddnc  33783  iblabsnc  33787  iblmulc2nc  33788  itgmulc2nc  33791  itgabsnc  33792  bddiblnc  33793  ftc1anclem2  33799  ftc1anclem5  33802  ftc1anclem6  33803  ftc1anclem8  33805  cntotbnd  33908  isosctrlem1ALT  39669  iblsplit  40685