Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recgt0ii 10967
 Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1 𝐴 ∈ ℝ
recgt0i.2 0 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
recgt0ii 0 < (1 / 𝐴)

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10032 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2 ltplus1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
32recni 10090 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
4 ax-1ne0 10043 . . . . 5 1 ≠ 0
5 recgt0i.2 . . . . . 6 0 < 𝐴
62, 5gt0ne0ii 10602 . . . . 5 𝐴 ≠ 0
71, 3, 4, 6divne0i 10811 . . . 4 (1 / 𝐴) ≠ 0
87nesymi 2880 . . 3 ¬ 0 = (1 / 𝐴)
9 0lt1 10588 . . . . 5 0 < 1
10 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
11 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
1210, 11ltnsymi 10194 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
139, 12ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
142, 6rereccli 10828 . . . . . . . . 9 (1 / 𝐴) ∈ ℝ
1514renegcli 10380 . . . . . . . 8 -(1 / 𝐴) ∈ ℝ
1615, 2mulgt0i 10207 . . . . . . 7 ((0 < -(1 / 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
175, 16mpan2 707 . . . . . 6 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < (-(1 / 𝐴) · 𝐴))
1814recni 10090 . . . . . . . 8 (1 / 𝐴) ∈ ℂ
1918, 3mulneg1i 10514 . . . . . . 7 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -((1 / 𝐴) · 𝐴)
203, 6recidi 10794 . . . . . . . . 9 (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1
213, 18, 20mulcomli 10085 . . . . . . . 8 ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1
2221negeqi 10312 . . . . . . 7 -((1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2319, 22eqtri 2673 . . . . . 6 (-(1 / 𝐴) · 𝐴) = -1
2417, 23syl6breq 4726 . . . . 5 (0 < -(1 / 𝐴) → 0 < -1)
25 lt0neg1 10572 . . . . . 6 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴)))
2614, 25ax-mp 5 . . . . 5 ((1 / 𝐴) < 0 ↔ 0 < -(1 / 𝐴))
27 lt0neg1 10572 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
2811, 27ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
2924, 26, 283imtr4i 281 . . . 4 ((1 / 𝐴) < 0 → 1 < 0)
3013, 29mto 188 . . 3 ¬ (1 / 𝐴) < 0
318, 30pm3.2ni 917 . 2 ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)
32 axlttri 10147 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0)))
3310, 14, 32mp2an 708 . 2 (0 < (1 / 𝐴) ↔ ¬ (0 = (1 / 𝐴) ∨ (1 / 𝐴) < 0))
3431, 33mpbir 221 1 0 < (1 / 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∨ wo 382   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  -cneg 10305   / cdiv 10722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723 This theorem is referenced by:  halfgt0  11286  0.999...  14656  0.999...OLD  14657  sincos2sgn  14968  rpnnen2lem3  14989  rpnnen2lem4  14990  rpnnen2lem9  14995  pcoass  22870  log2tlbnd  24717  stoweidlem34  40569  stoweidlem59  40594
 Copyright terms: Public domain W3C validator