MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recclnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recclnq 9972
Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recclnq (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq
StepHypRef Expression
1 recidnq 9971 . . . 4 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
2 1nq 9934 . . . 4 1QQ
31, 2syl6eqel 2839 . . 3 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
4 mulnqf 9955 . . . . 5 ·Q :(Q × Q)⟶Q
54fdmi 6205 . . . 4 dom ·Q = (Q × Q)
6 0nnq 9930 . . . 4 ¬ ∅ ∈ Q
75, 6ndmovrcl 6977 . . 3 ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q → (𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q))
83, 7syl 17 . 2 (𝐴Q → (𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q))
98simprd 482 1 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2131   × cxp 5256  cfv 6041  (class class class)co 6805  Qcnq 9858  1Qc1q 9859   ·Q cmq 9862  *Qcrq 9863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-ni 9878  df-mi 9880  df-lti 9881  df-mpq 9915  df-enq 9917  df-nq 9918  df-erq 9919  df-mq 9921  df-1nq 9922  df-rq 9923
This theorem is referenced by:  recrecnq  9973  dmrecnq  9974  halfnq  9982  ltrnq  9985  mulclprlem  10025  prlem934  10039  prlem936  10053  reclem2pr  10054  reclem3pr  10055  reclem4pr  10056
  Copyright terms: Public domain W3C validator