Theorem reccld 11006

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
reccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		reccld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		reccl 10904	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 696	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   / cdiv 10896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897

This theorem is referenced by:  recgt0  11079  expmulz  13120  rlimdiv  14595  rlimno1  14603  isumdivc  14714  fsumdivc  14737  geolim  14820  georeclim  14822  clim2div  14840  prodfdiv  14847  dvmptdivc  23947  dvmptdiv  23956  dvexp3  23960  logtayl  24626  dvcncxp1  24704  cxpeq  24718  logbrec  24740  ang180lem1  24759  ang180lem2  24760  ang180lem3  24761  isosctrlem2  24769  dvatan  24882  efrlim  24916  amgm  24937  lgamgulmlem2  24976  lgamgulmlem3  24977  igamf  24997  igamcl  24998  lgam1  25010  dchrinvcl  25198  dchrabs  25205  2lgslem3c  25343  dchrmusumlem  25431  vmalogdivsum2  25447  pntrlog2bndlem2  25487  pntrlog2bndlem6  25492  nmlno0lem  27978  nmlnop0iALT  29184  branmfn  29294  leopmul  29323  logdivsqrle  31058  dvtan  33791  dvasin  33827  areacirclem1  33831  areacirclem4  33834  pell14qrdich  37953  mpaaeu  38240  areaquad  38322  hashnzfzclim  39041  binomcxplemnotnn0  39075  oddfl  40006  climrec  40356  climdivf  40365  reclimc  40406  divlimc  40409  ioodvbdlimc1lem2  40668  ioodvbdlimc2lem  40670  stoweidlem7  40745  stoweidlem37  40775  wallispilem4  40806  wallispi  40808  wallispi2lem1  40809  stirlinglem1  40812  stirlinglem3  40814  stirlinglem4  40815  stirlinglem5  40816  stirlinglem7  40818  stirlinglem10  40821  stirlinglem11  40822  stirlinglem12  40823  stirlinglem15  40826  dirkertrigeq  40839  fourierdlem30  40875  fourierdlem83  40927  fourierdlem95  40939  seccl  43022  csccl  43023  young2d  43082